Đề bài
Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:
a] \[ \left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = 1 \hfill \cr x - 2y = - 1 \hfill \cr} \right. \]; b] \[ \left\{ \matrix{2{\rm{x + }}y = 4 \hfill \cr - x + y = 1 \hfill \cr} \right. \]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Ta biến đổi các hệ phương trình đã cho về dạng \[\left\{ \begin{array}{l}y = ax + b\\y = a'x + b'\end{array} \right.\]
Gọi đường thẳng\[[d]:y=ax+b \] và đường thẳng \[[d']: y=a'x+b' \].
+] Vẽ đường thẳng \[[d]\] và \[[d']\] biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trên cùng một hệ tọa độ.
+]Tìm giao điểm.
+] Thử lại tọa độ giao điểm đó vào hệ hai phương trình ban đầu. Nếu thỏa mãn thì là nghiệm của hệ.
Lời giải chi tiết
a] Ta có:
\[\left\{ \matrix{
2x - y = 1 \hfill \cr
x - 2y = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = 2x - 1 \ [d]\hfill \cr
y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} \ [d'] \hfill \cr} \right.\]
+] Vẽ \[[d]\]: \[y=2x-1\]
Cho \[x = 0 \Rightarrow y = -1\], ta được \[A[0; -1]\].
Cho \[y = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}\], ta được \[B{\left[\dfrac{1}{2}; 0 \right]}\].
Đường thẳng [d] là đường thẳng đi qua hai điểm \[A,\ B\].
+] Vẽ \[[d']\]: \[y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\]
Cho \[x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2}\], ta được \[C {\left[0; \dfrac{1}{2} \right]}\].
Cho \[y = 0 \Rightarrow x = -1\], ta được \[D = [-1; 0]\].
Đường thẳng [d']là đường thẳng đi qua hai điểm \[C,\ D\].
+] Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ \[M[ 1, 1]\].
Thay \[x = 1, y = 1\] vào các phương trình của hệ ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\x - 2y = - 1\end{array} \right.\]
\[\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l}2.1 - 1 = 1\\1 - 2.1 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 1\\ - 1 = - 1\end{array} \right.\] [luôn đúng]
Vậy hệ phương trình có một nghiệm \[[x; y] = [1; 1]\].
b] Ta có:
\[\left\{ \matrix{
2x + y = 4 \hfill \cr
- x + y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y = - 2x + 4 \ [d] \hfill \cr
y = x + 1 \ [d'] \hfill \cr} \right.\]
+] Vẽ \[[d]\]: \[y=-2x+4\]
Cho \[x = 0 \Rightarrow y = 4\], ta được \[A[0; 4]\].
Cho \[y = 0 \Rightarrow x = 2\], ta được \[B[2; 0]\].
Đường thẳng [d]là đường thẳng đi qua hai điểm \[A,\ B\].
Vẽ \[[d']\]: \[y=x+1\]
Cho \[x = 0 \Rightarrow y = 1\], ta được \[C[0; 1]\].
Cho \[y = 0 \Rightarrow x = -1\], ta được \[D[-1; 0]\].
Đường thẳng [d']là đường thẳng đi qua hai điểm \[C,\ D\].
Quan sát hình vẽ, ta thấy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ \[N[1;2]\].
Thay \[x = 1, y = 2\] vào các phương trình của hệ ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\ - x + y = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.1 + 2 = 4\\ - 1 + 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 = 4\\1 = 1\end{array} \right.\] [luôn đúng]
Vậy hệ phương trình có một nghiệm \[[x; y] = [1; 2]\].