1. Định nghĩa
Dãy số \[u_n\] là một cấp số cộng nếu \[u_{n+1}=u_n+ d\] với mọi \[n\in {\mathbb N}^*\], \[d\] là hằng số.
\[d =u_{n+1}-u_n\] được gọi là công sai.
Ví dụ:
Dãy số \[3;6;9;12;15\] là một cấp số cộng vì:
\[\begin{array}{l}6 = 3 + 3\\9 = 6 + 3\\12 = 9 + 3\\15 = 12 + 3\end{array}\]
Đây là CSC có công sai \[d = 4\] và số hạng đầu \[{u_1} = 3\].
2. Số hạng tổng quát
Kí hiệu: \[u_n= u_1+ [n 1]d, [n 2]\]. [ n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 1]
Như vậy công sai còn có thể tính bởi công thức: \[d = \dfrac{u_{n}-u_{1}}{n-1}\].
Ví dụ:
Cho CSC \[\left[ {{u_n}} \right]\] biết \[{u_1} = - 1,d = 3\]. Tìm \[{u_{20}}\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}{u_{20}} = {u_1} + \left[ {20 - 1} \right]d\\\,\,\,\,\,\,\, = {u_1} + 19d\\\,\,\,\,\,\,\, = - 1 + 19.3\\\,\,\,\,\,\,\, = 56\end{array}\]
3. Tính chất
\[ u_{k}=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\]với \[k 2\] hay \[u_{k+1}+u_{k-1}= 2u_k\]
Ví dụ:
Cho ba số \[3;x;9\] theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm \[x\].
Ta có: \[x = \dfrac{{3 + 9}}{2} = 6\].
Vậy \[x = 6\].
4. Tổng \[n\] số hạng đầu
+] Thông qua số hạng đầu, cuối và số số hạng: \[S_n= \dfrac{n[u_{1}+u_{n}]}{2}\], với \[n\in {\mathbb N}^*\]
+] Thông qua số hạng đầu, số số hạng và công sai:
\[{S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left[ {n - 1} \right]}}{2}d\]
\[{S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left[ {n - 1} \right]d} \right]}}{2}\]
Ví dụ:
Cho CSC \[\left[ {{u_n}} \right]\] thỏa mãn \[{u_1} = - 1,d = 3\]. Tính \[{S_{20}}\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}{S_{20}} = 20{u_1} + \dfrac{{20.\left[ {20 - 1} \right]}}{2}.d\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 20.\left[ { - 1} \right] + \dfrac{{20.19}}{2}.3\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 550\end{array}\]