Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
LG a
a] \[y={x^2},y =x + 2\];
Phương pháp giải:
Cho hai hàm số \[y = f\left[ x \right];\;\;y = g\left[ x \right]\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;\;b} \right]\]. Gọi \[D\] là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số trên và các đường thẳng \[x = a;\;\;x = b\]. Khi đó diện tích của hình phẳng \[D\] được tính bởi công thức: \[{S_D} = \int\limits_a^b {\left| {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right|dx} .\]
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: \[f[x] = x^2-x -2=0 \] \[[x+1][x-2]=0\] \[ \left[ \begin{array}{l}x + 1=0\\x - 2=0\end{array} \right. \] \[ \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right..\]
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
\[S=\int_{-1}^{2}\left |x^{2}- x- 2 \right |dx\] \[ = \left | \int_{-1}^{2}\left [x^{2}- x- 2 \right ] dx \right |\]
\[=\left |\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2}-2x|_{-1}^{2} \right |\] \[=\left |\dfrac{8}{3}-2-4-[-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+2] \right |\] \[=\dfrac{9}{2}\] [đvdt].
LG b
b] \[y = |lnx|, y = 1\];
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\[f[x] = 1 - |\ln x| = 0 \ln x =± 1\] \[\left[ \begin{array}{l}x = e\\x =\dfrac{1}{e}\end{array} \right..\]
Ta có: \[y = |\ln x| = \ln x\] nếu \[\ln x 0\], tức là \[x 1\].
hoặc \[y = |\ln x| = - \ln x\] nếu \[\ln x < 0\], tức là \[0 < x < 1\].
Dựa vào đồ thị hàm số vẽ ở hình trên ta có diện tích cần tìm là :
\[S=\int_{\frac{1}{e}}^{e}|1- |\ln x||dx \] \[=\int_{\frac{1}{e}}^{1}[1+\ln x]dx\] \[ +\int_{1}^{e}[1-\ln x]dx\]
\[= x|_{\frac{1}{e}}^{1}+\int_{\frac{1}{e}}^{1}\ln xdx +x|_{1}^{e}-\int_{1}^{e}\ln xdx\]
\[ = \left[ {1 - \dfrac{1}{e}} \right] + \int\limits_{1/e}^1 {\ln xdx} \] \[ + \left[ {e - 1} \right] - \int\limits_1^e {\ln xdx} \]
\[=-\dfrac{1}{e}+e+\int_{\frac{1}{e}}^{1}\ln x dx-\int_{1}^{e}\ln xdx\]
Tính \[\int {\ln xdx} \] ta có:
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\]
Do đó \[\ln xdx = x\ln x - dx \] \[= x\ln x x + C\], thay vào trên ta được:
\[S=e-\dfrac{1}{e}+[x\ln x-x]|_{\frac{1}{e}}^{1}\] \[- [x\ln x-x]|_{1}^{e}\] \[ = e - \dfrac{1}{e}\]\[ + \left[ {\left[ {1\ln 1 - 1} \right] - \left[ {\dfrac{1}{e}\ln \dfrac{1}{e} - \dfrac{1}{e}} \right]} \right]\] \[ - \left[ {\left[ {e\ln e - e} \right] - \left[ {1\ln 1 - 1} \right]} \right]\]
\[ = e - \dfrac{1}{e}\]\[ + \left[ {\left[ {0 - 1} \right] - \left[ {\dfrac{1}{e}.\left[ { - 1} \right] - \dfrac{1}{e}} \right]} \right]\] \[ - \left[ {\left[ {e.1 - e} \right] - \left[ {0 - 1} \right]} \right]\]
\[ = e - \dfrac{1}{e} + \left[ { - 1 + \dfrac{2}{e}} \right] - \left[ {0 + 1} \right]\] \[ = e - \dfrac{1}{e} - 1 + \dfrac{2}{e} - 1\]
\[=e+\dfrac{1}{e}-2\][đvdt].
LG c
c] \[y = {\left[ x-6 \right]}^2,y = 6x-{x^2}\]
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:
\[f\left[ x \right] =6x-{x^2}-{\left[ {x -6} \right]^2} \] \[= - 2[{x^2}-9x+ 18]=0\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - 9x + 18 = 0\] \[ [x-3][x-6]=0\] \[ \left[ \begin{array}{l}x - 3=0\\x - 6=0\end{array} \right.\] \[\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 6\end{array} \right..\]
Diện tích cần tìm là:
\[S=\int_{3}^{6}|-2[x^{2}-9x+18]|dx\] \[=|2\int_{3}^{6}[x^{2}-9x+18]dx|\]
\[=\left |2[\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{9}{2}x^{2}+18x]|_{3}^{6} \right | \]
\[ = |2\left[ {\dfrac{{{6^3}}}{3} - \dfrac{9}{2}{{.6}^2} + 18.6} \right]\] \[ - 2\left[ {\dfrac{{{3^3}}}{3} - \dfrac{9}{2}{{.3}^2} + 18.3} \right]|\]
\[ =|36-45|=9 \, \, [đvdt]\].