Đề bài
Cho tứ giác \[ABCD\] nằm trong mặt phẳng \[[α]\] có hai cạnh \[AB\] và \[CD\] không song song. Gọi \[S\] là điểm nằm ngoài mặt phẳng \[[α]\] và \[M\] là trung điểm đoạn \[SC\].
a] Tìm giao điểm \[N\] của đường thẳng \[SD\] và mặt phẳng \[[MAB]\].
b] Gọi \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD\]. Chứng minh rằng ba đường thẳng \[SO, AM, BN\] đồng quy.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Tìm một đường thẳng trong \[[MAB]\] cắt được \[SD\]. Khi đó giao điểm đó chính là giao điểm của \[SD\] và \[[MAB]\].
b] Chứng minh\[\left[ {SAC} \right] \cap \left[ {SBD} \right] = SO\]. Gọi\[I = AM \cap BN\], chứng minh \[I\] là điểm chung của hai mặt phẳng \[[SAC]\] và \[[SBD] \, \Rightarrow I \in SO\].
Lời giải chi tiết
a] Trong mặt phẳng \[[α]\] vì \[AB\] và \[CD\] không song song nên \[AB DC = E\]
\[ \Rightarrow E DC\], mà \[DC [SDC]\]
\[ \Rightarrow E [ SDC]\].
Trong \[[SDC]\] đường thẳng \[ME\] cắt \[SD\] tại \[N\]
\[ \Rightarrow N ME\] mà \[ME [MAB]\]
\[ \Rightarrow N [ MAB]\]. Lại có \[N SD\Rightarrow N = SD [MAB]\]
b] \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD\]\[ \Rightarrow O\] thuộc \[AC\] và \[BD\], mà \[AC [ SAC], BD [SBD]\]
\[ \Rightarrow O [ SAC], O [SBD]\]
\[\Rightarrow\] \[O\] là một điểm chung của \[[SAC]\] và \[[SBD]\]
Mặt khác \[S\] cũng là điểm chung của \[[SAC]\] và \[[SBD]\]
\[\Rightarrow [SAC] [SBD] = SO\]
Trong mặt phẳng \[[AEN]\] gọi \[I = AM BN \RightarrowI \in AM; I \in BN\]
Mà \[AM [SAC]\Rightarrow I [SAC] \]
\[BN [ SBD] \]\[\Rightarrow I [SBD]\].
Như vậy \[I\] là điểm chung của \[[SAC]\] và \[[SBD]\] nên \[I \in SO\] là giao tuyến của \[[SAC]\] và \[[SBD]\].
Vậy \[S, I, O\] thẳng hàng hay \[SO, AM, BN\] đồng quy tại \[I\].
Cách khác:
b] Chứng minh \[SO, MA, BN\] đồng quy:
+ Trong mặt phẳng \[[SAC] : SO\] và \[AM\] cắt nhau.
+ Trong mp \[[MAB] : MA\] và \[BN\] cắt nhau
+ Trong mp \[[SBD] : SO\] và \[BN\] cắt nhau.
+ Qua \[AM\] và \[BN\] xác định được duy nhất \[[MAB]\], mà \[SO\] không nằm trong mặt phẳng \[[MAB]\] nên \[AM; BN; SO\] không đồng phẳng.
Theo kết quả bài tập 3 ta có \[SO, MA, BN\] đồng quy.