Đề bài
Cho nửa đường tròn [O] có đường kính AB = 2R. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB, gọi M là một điểm nằm trên OC sao cho \[\tan \widehat {OAM} = \dfrac{3}{4}\], AM cắt nửa đường tròn tại D. Tính các đoạn AM, AD, BD theo R.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các tỉ số lượng giác, tỉ lệ đồng dạng và định lý Pythagore để tính.
Lời giải chi tiết
Xét tam gác OAM vuông tại O có:
\[\tan\widehat {OAM}= \dfrac{{OM}}{{OA}} = \dfrac{3}{4} \]
\[\Rightarrow OM = \dfrac{3}{4}OA = \dfrac{3}{4}R\]
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác OAM vuông tại O:
\[A{M^2} = O{A^2} + O{M^2}\]
\[\Rightarrow AM = \sqrt {O{A^2} + O{M^2}} \]\[\, = \sqrt {{R^2} + \dfrac{9}{{16}}{R^2}} = \dfrac{5}{4}R\]
D là một điểm trên nửa đường tròn [O] \[ \Rightarrow\widehat {ADB}= {90^o}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
Xét hai tam giác OAM và DAB có:
+] \[\widehat A\]chung;
+] \[\widehat {AOM} = \widehat {ADB}= {90^o}\]
\[ \Rightarrow \]Hai tam giác OAM và DAB đồng dạng
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{OA}}{{AD}} = \dfrac{{OM}}{{BD}}\\ \Rightarrow AD = \dfrac{{OA.AB}}{{AM}} = \dfrac{{R.2R}}{{\dfrac{5}{4}R}} = \dfrac{8}{5}R\\ BD = \dfrac{{OM.AB}}{{AM}} = \dfrac{{\dfrac{3}{4}R.2R}}{{\dfrac{5}{4}R}} = \dfrac{6}{5}R\end{array}\]