Đề bài
Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó.
a] \[2{x^2} - 2x + m = 0\]
b] \[{x^2} + 3mx - m + 2 = 0\]
c] \[{x^2} - [m - 2]x + 1 = 0\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép là: \[\Delta = 0\left[ {\Delta ' = 0} \right]\]. Nghiệm kép của phương trình là \[{x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}\]
Lời giải chi tiết
a] \[2{x^2} - 2x + m = 0\]
Ta có: \[a = 2;b' = - 1;c = m;\Delta ' = 1 - 2m\]
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi \[\Delta ' = 0 \Leftrightarrow 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\]
Với \[m = \dfrac{1}{2}\] phương trình trở thành \[2{x^2} - 2x + \dfrac{1}{2} = 0\] . Phương trình có nghiệm kép là: \[{x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a} = \dfrac{1}{2}\]
b] \[{x^2} + 3mx - m + 2 = 0\]
Ta có: \[a = 1;b = 3m;c = - m + 2;\]
\[\Delta = 9{m^2} - 4\left[ { - m + 2} \right] \]\[\;= 9{m^2} + 4m - 8\]
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi \[\Delta = 0 \]
\[\Leftrightarrow 9{m^2} + 4m - 8 = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{ - 2 + 2\sqrt {19} }}{9}\\m = \dfrac{{ - 2 - 2\sqrt {19} }}{9}\end{array} \right.\]
+] Với \[m = \dfrac{{ - 2 + 2\sqrt {19} }}{9}\] Phương trình có nghiệm kép là:\[{x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{{3m}}{2} \]\[\,= - \dfrac{{3.\dfrac{{ - 2 + 2\sqrt {19} }}{9}}}{2} = \dfrac{{1 - \sqrt {19} }}{3}\]
+] Với \[m = \dfrac{{ - 2 - 2\sqrt {19} }}{9}\] Phương trình có nghiệm kép là:\[{x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{{3m}}{2}\]\[\; = - \dfrac{{3.\dfrac{{ - 2 - 2\sqrt {19} }}{9}}}{2} = \dfrac{{1 + \sqrt {19} }}{3}\]
c] \[{x^2} - \left[ {m - 2} \right]x + 1 = 0;\]
\[a = 1;b = - \left[ {m - 2} \right];c = 1;\]
\[\Delta = {\left[ {m - 2} \right]^2} - 4\]
Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi \[\Delta = 0 \]
\[\Leftrightarrow {\left[ {m - 2} \right]^2} - 4 = 0 \]
\[\Leftrightarrow {\left[ {m - 2} \right]^2} = 4 \]
\[\Leftrightarrow m - 2 = \pm 2\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 0\end{array} \right.\]
+] TH1: với \[m = 4\] ta có: phương trình có nghiệm kép là: \[{x_1} = {x_2} = \dfrac{{m - 2}}{2} = 1\]
+] TH2: với \[m = 0\] ta có phương trình có nghiệm kép là: \[{x_1} = {x_2} = \dfrac{{m - 2}}{2} = - 1\]