Đề bài
Câu 1. Tìm tập nghiệm S của phương trình \[{z^3} + {z^2} - 2 = 0\] trên trường số phức.
A. \[S = \{ - 1 - i,\, - 1 + i\} \].
B. \[S = \{ 1,\,1 - i,\,1 + i\} \].
C. \[S = \{ 1,\, - 1 - i,\, - 1 + i\} \].
D. \[S = \{ 1\} \].
Câu 2. Tính mô đun của số phức \[z\dfrac{{1 + 2i}}{{1 - i}}\].
A. \[|z| = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\].
B. \[|z| = \sqrt {10} \].
C. \[|z| = \dfrac{5}{2}\].
D. \[|z| = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\].
Câu 3. Số phức \[z = \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}} - 3 + 4i\] có số phức liên hợp là:
A. \[\overline z = - 3i\].
B. \[\overline z = - 3\].
C. \[\overline z = - 3 + 3i\].
D. \[\overline z = - 3 - 3i\].
Câu 4. Trên mặt phẳng tọa độ, để tập hợp điểm biểu diễn các số phức z nằm trong phần gạch chéo [ kể cả biên ] ở hình vẽ dưới đây thì điều kiện của z là:
A. \[|z| \le 1\] và phần ảo thuộc đoạn \[\left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\].
B. \[|z| \le \dfrac{1}{2}\]và phần thực thuộc đoạn \[\left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\].
C. \[|z| \le \dfrac{1}{2}\] và phần ảo thuộc đoạn \[\left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\].
D. \[|z| \le 1\] và phần thực thuộc đoạn \[\left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right]\].
Câu 5. Mô đun của số phức z thỏa mãn \[z + \left[ {2 + i} \right]\overline z = 3 + 5i\] là:
A. \[\sqrt {17} \] B. \[\sqrt {15} \]
C. \[\sqrt {13} \] D. \[\sqrt {14} \].
Câu 6. Trong tập số phức C, chọn phát biểu đúng .
A. \[z + \overline z \] là số thuần ảo.
B. \[\overline {{z_1} + {z_2}} = \overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} \].
C. \[{z^2} - {\left[ {\overline z } \right]^2} = 4ab\].
D. \[|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|\].
Câu 7. Gọi \[{z_1}\,,\,{z_2}\] lần lượt là nghiệm của phương trình \[{z^2} + 2z + 10 = 0\]. Tính \[|{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2}\].
A. 20 B. 50
C. 100 D. 15
Câu 8. Cho số phức z = 2 + 3i. Giá trị của \[|2iz - \overline z |\] bằng :
A. 15 B. \[\sqrt {15} \]
C. 113 D. \[\sqrt {113} \].
Câu 9. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của số phức z = - 5 6i là điểm nào sau đây ?
A. P[5 ; - 6]. B. Q[5 ; 6].
C. M[- 5 ; 6]. D. N[- 5 ; - 6 ].
Câu 10. Tìm số phưc liên hợp của số phức \[z = 1 - 9i\].
A. \[\overline z = - 1 - 9i\].
B. \[\overline z = - 1 + 9i\].
C. \[\overline z = 1 - 9i\].
D. \[\overline z = 1 + 9i\].
Câu 11. Số phức z là số thực nếu:
A. a = 0. B. b = 0.
C. i = 0. D. a. b = 0.
Câu 12. Các số thực x , y thỏa mãn \[\dfrac{{x - 3}}{{3 + i}} + \dfrac{{y - 3}}{{3 - i}} = i\]. Khi đó tổng T = x + y bằng :
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
Câu 13. Cho biểu thức \[|z| + z = 3 + 4i\]. Số phức z là :
A. \[z = \dfrac{7}{6} - 4i\].
B. \[z = \dfrac{6}{7} + 4i\].
C. \[z = - \dfrac{7}{6} - 4i\].
D. \[z = - \dfrac{7}{6} + 4i\].
Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn \[|z - 2 - 2i| = 1\]. Số phức z - i có mô đun nhỏ nhất là:
A. \[\sqrt 5 - 1\].
B. \[1 - \sqrt 5 \].
C. \[\sqrt 5 + 1\].
D. \[\sqrt 5 + 2\].
Câu 15. Cho hai số phức \[{z_1} = 1 + 2i\,,\,\,{z_2} = 2 - 3i\]. Phần thực và phần ảo của số phức \[w = 3{z_1} - 2{z_2}\] là:
A. 1 và 12.
B. 1 và 12.
C. 1 và 12i.
D. 1 và 12i.
Câu 16. Cho số phức z thỏa mãn \[|z + 3| + |z - 3| = 10\]. Giá trị nhỏ nhất của \[|z|\] là:
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
Câu 17. Nghiệm của phương trình \[2{z^4} + {z^2} - 1 = 0\] trên tập số phức là:
A. \[z = \pm i\].
B. \[\left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\z = i\end{array} \right.\].
C. \[\left[ \begin{array}{l}z = \pm \dfrac{i}{{\sqrt 2 }}\\z = \pm i\end{array} \right.\].
D. \[\left[ \begin{array}{l}z = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\z = \pm i\end{array} \right.\].
Câu 18. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \[|z| = |2 + 2i|\] là:
A. Đường tròn bán kính \[2\sqrt 2 \].
B. Đường tròn bán kính 4.
C. Đường tròn bán kính 2.
D. Đường tròn bán kính \[4\sqrt 2 \].
Câu 19. Số phức z có mô đun r và acgumen \[\varphi \] thì có dạng lượng giác là:
A. \[z = r\left[ {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right]\].
B. \[z = r\left[ {\cos \varphi - i\sin \varphi } \right]\].
C. \[z = r\left[ {\sin \varphi + i\cos \varphi } \right]\].
D. \[z = r\left[ {\sin \varphi - i\cos \varphi } \right]\].
Câu 20. Tổng của hai số phức \[{z_1} = 1 - 2i\,,\,\,{z_2} = 2 + 3i\] là:
A. \[2 - 5i\].
B. 2 + 5i.
C. 3 + i.
D. 3 + 5i.
Câu 21. Gọi \[\varphi \] là 1 acgumen cảu số phức z có biểu diễn là \[M\left[ {\dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right]\]nằm trên đường tròn đơn vị, số đo nào sau đây có thể là một acgumen của z ?
A. \[\dfrac{\pi }{2}\] B. \[\dfrac{\pi }{3}\]
C. \[\dfrac{\pi }{4}\] D. \[\dfrac{\pi }{6}\].
Câu 22. Cho số phức z thỏa mãn \[|z + 1 - i|\,\, \le \,3\]là số thực. Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là:
A. Đường tròn .
B. Đường thẳng .
C. Hình tròn .
D. Một điểm duy nhất.
Câu 23. Cho hai số phức \[{z_1} = 4 + 5i\,,\,\,{z_2} = 1 + 2i\]. Tìm khẳng định đúng ?
A. \[{z_1} + {z_2} = 5 + 7i\].
B. \[{z_1} - {z_2} = 3 + 4i\].
C. \[{z_1}.{z_2} = 10 + 3i\].
D. \[{z_1}.{z_2} = 20 + 5i\].
Câu 24. Tìm điểm M biểu diễn số phức z = 2 + 2i.
A. M [ 2 ; - 2].
B. M [2 ; 2].
C. M [ -2 ; 2].
D. M [-2 ; 2].
Câu 25. Cho số phức z có dạng lượng giác \[z = 4\left[ {\cos \left[ { - \dfrac{\pi }{2}} \right] + i\sin \left[ { - \dfrac{\pi }{2}} \right]} \right]\]. Dạng đại số của z là :
A. z = 4.
B. z = - i.
C. z = 4i.
D. z = - 4i.
Lời giải chi tiết
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
C |
D |
D |
A |
C |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
B |
A |
D |
D |
D |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
B |
C |
D |
A |
B |
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
B |
D |
A |
A |
C |
|
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
|
B |
C |
A |
B |
D |
Lời giải chi tiết
Câu 1: [C]
\[\begin{array}{l}{z^3} - {z^2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {z - 1} \right]\left[ {{z^2} + 2z + 2} \right]\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 = 0\\{z^2} + 2z + 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\]\[\]
Giải pt [2]
Ta có \[\Delta = {[b']^2} - a.c = 1 - 2 = - 1 = {i^2}\]
\[\Delta \] có hai căn bậc hai là i và i
Nghiệm của pt [2] là \[{x_1} = - 1 - {\rm{ }}i\] và
Tập nghiệm S trên trường số phức là: S={ 1, -1- i, -1+ i}
Câu 2: [D]
\[\begin{array}{l}z = \dfrac{{1 + 2i}}{{1 - i}} = \dfrac{{\left[ {1 + 2i} \right].\left[ {1 + i} \right]}}{{\left[ {1 - i} \right]\left[ {1 + i} \right]}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{1 + 3i + 2.{i^2}}}{{1 - {i^2}}} = \dfrac{{ - 1 + 3.i}}{2}\\\,\,\,\, = \dfrac{{ - 1}}{2} + \dfrac{3}{2}i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{{\left[ { - \dfrac{1}{2}} \right]}^2} + {{\left[ {\dfrac{3}{2}} \right]}^2}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\end{array}\]
Câu 3: [D]
\[\begin{array}{l}z = \dfrac{{1 - i}}{{1 + i}} - 3 + 4i\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left[ {1 - i} \right]}^2}}}{{1 - {i^2}}} - 3 + 4i\\\,\,\,\,\, = - i - 3 + 4i = - 3 + 3i\end{array}\]
Số phức liên hợp của z là: \[\overline z = - 3 - 3i\]
Câu 4: [A]
Câu 5: [C]
Đặt z = a + bi \[a,b \in \mathbb{Z}\]
\[\begin{array}{l}z + \left[ {2 + i} \right]\overline z = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow \left[ {a + bi} \right] + \left[ {2 + i} \right]\left[ {a - bi} \right] = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow 3a + b + ai - bi = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow 3a + b + \left[ {a - b} \right]i = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + b = 3\\a - b = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 3\end{array} \right.\left[ {tm} \right]\\ \Rightarrow z = 2 - 3i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left[ { - 3} \right]}^2}} = \sqrt {13} \end{array}\]
Câu 6: [B]
Câu 7: [A] \[{z^2} + 2z + 10 = 0\]
Có \[\Delta ' = {\left[ {b'} \right]^2} - ac = 1 - 10 = - 9 = {\left[ {3i} \right]^2}\]
\[\Delta \] có hai căn bậc hai là 3i và 3i
Phương trình có hai nghiệm \[{z_1} = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} + {\rm{ }}3i\] và \[{z_2} = {\rm{ }} - 1{\rm{ }}--{\rm{ }}3i\]
\[\begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {10} \\ \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_2}} \right|^2} = 10\\ \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 20\end{array}\]
Câu 8: [D]
\[\begin{array}{l}z{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3i\\ \Rightarrow 2iz - \overline z = {\rm{ }}2i\left[ {2{\rm{ }} + 3i} \right]{\rm{ }}--{\rm{ }}\left[ {2{\rm{ }}--{\rm{ }}3i} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4i - 6 - 2 + 3i\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 8 + 7i\end{array}\]
Câu 9: [D]
Câu 10: [D]
Câu 11: [B]
Câu 12: [C]
\[\begin{array}{l}\dfrac{{x - 3}}{{3 + i}} + \dfrac{{y - 3}}{{3 - i}} = i\\ \Leftrightarrow \left[ {x - 3} \right]\left[ {3 - i} \right] + \left[ {y - 3} \right]\left[ {3 + i} \right] = i\left[ {3 - i} \right]\left[ {3 + i} \right]\\ \Leftrightarrow 3\left[ {x - 3} \right] - \left[ {x - 3} \right]i + 3\left[ {y - 3} \right] + \left[ {y - 3} \right]i = 10i\\ \Leftrightarrow 3\left[ {x + y - 6} \right] + \left[ {y - x} \right]i = 10i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - 6 = 0\\y - x = 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 6\\y - x = 10\end{array} \right.\end{array}\]
Câu 13: [D]
Đặt \[z = a + bi;\,\,\,\,a,b \in \mathbb{Z}\]
\[\begin{array}{l}|z| + z = 3 + 4i\\ \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 3 + 4i\\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a = 3{\rm{ [1]}}\\b = 4{\rm{ [2]}}\end{array} \right.\end{array}\]
Thay [2] v ào [1] ta được:
\[\begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {{16}^2}} + a = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{16}^2}} = 3 - a\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\6a = - 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\a = \dfrac{{ - 7}}{6}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow a = \dfrac{{ - 7}}{6}\\ \Rightarrow z = - \dfrac{7}{6} + 4i\end{array}\]
Câu 14: [A]
Đặt z = x +yi M[x,y] \[x,y \in \mathbb{Z}\]
\[\begin{array}{l}|z - 2 - 2i| = 1\\ \Leftrightarrow |x + yi - 2 - 2i| = 1\\ \Leftrightarrow \left| {\left[ {x - 2} \right] + \left[ {y - 2} \right]i} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ {x - 2} \right]}^2} + {{[y - 2]}^2}} = 1\\ \Leftrightarrow {\left[ {x - 2} \right]^2} + {\left[ {y - 2} \right]^2} = 1\end{array}\]=1
Điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm I[2,2], bán kính r = 1
Ta lại có: \[\left| {z--i} \right| = \left| {x + yi--i} \right| \]\[\,= \left| {x + \left[ {y--1} \right]} \right| = \sqrt {{x^2} + {{[y - 1]}^2}} \]
Lấy H[0, 1] suy ra \[HM = \sqrt {{x^2} + {{[y - 1]}^2}} \]
Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH nhỏ nhất khi M là giao điểm của HI với đường tròn.
Có H[0,1] , I[2,2] nên \[\overrightarrow {HI} = \left[ {2;1} \right]\] = [2,1]
Pt đường thẳng HI: [1] \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 + t\end{array} \right.\]
Mặt khác, HI giao với đường tròn tại M nên thay [1] vào pt đường tròn ta được :
\[\begin{array}{l}{\left[ {2t - 2} \right]^2} + {\left[ {t - 1} \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow 5{\left[ {t - 1} \right]^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\left[ {t - 1} \right]^2} = \dfrac{1}{5}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\t - 1 = - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\t = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_1} = \left[ {2 + \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},2 + \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right]\\{M_2} = \left[ {2 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},2 - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right]\end{array} \right.\\\\\end{array}\]
Có \[H{M_1} = \sqrt 5 + 1;\,\,H{M_2} = \sqrt 5 - 1\]
\[|z - i{|_{\min }} \Leftrightarrow |z - i| = H{M_2} = \sqrt 5 - 1\] với \[{M_2} = \left[ {2 - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},2 - \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right]\]
Câu 15: [B]
\[\begin{array}{l}w = 3{z_1}--2{z_2}\\\,\,\,\,\,\, = 3\left[ {1{\rm{ }} + {\rm{ }}2i} \right]--2\left[ {2--3i} \right]\\\,\,\,\,\,\, = 3 + 6i - 4 + 6i\\\,\,\,\,\,\, = - 1 + 12i\end{array}\]
Phần thực: -1 , phần ảo: 12
Câu 16: [B] Đặt \[z = a + bi;\,\,\,\,a,b \in \mathbb{Z}\]
\[\begin{array}{l}\left| {z + 3} \right| + \left| {z--3} \right| = 10\\ \Leftrightarrow |a + bi + 3| + |a + bi - 3| = 10\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{[a + 3]}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{[a - 3]}^2} + {b^2}} = 10\end{array}\]
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
\[10 = \sqrt {{{[a + 3]}^2} + {b^2}} + \sqrt {{{[a - 3]}^2} + {b^2}} \]\[\,\le \sqrt {2{\rm{[}}{{[a + 3]}^2} + {b^2} + {{[a - 3]}^2} + {b^2}{\rm{]}}}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {2\left[ {2{a^2} + 2{b^2} + 18} \right]} \ge 10\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 9 \ge 25\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 16\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} \ge 4\\ \Leftrightarrow |z| \ge 4\\ \Leftrightarrow |z{|_{\min }} = 4\end{array}\]
Câu 17: [D]
\[\begin{array}{l}2{z^4} + {z^2} - 1 = 0\\\Delta = {b^2} - 4ac = 1 + 4.2 = 9\end{array}\]
Nghiệm của phương trình là:
\[\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{z^2} = \dfrac{{ - 1 - 3}}{4} = - 1 = {i^2}\\{z^2} = \dfrac{{ - 1 + 3}}{4} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm i\\z = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\end{array}\]
Câu 18: [A]
\[\left| z \right| = \left| {2 + 2i} \right| = 2\sqrt 2 \]
Đặt z= a+ bi
\[\begin{array}{l}|z| = 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow |a + bi| = 2\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2\sqrt 2 \end{array}\]
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là đường tròn có tâm O[0,0], bán kính \[r = 2\sqrt 2 \]
Câu 19: [A]
Câu 20: [C]
\[{z_1} + {z_2} = 1--2i + 2 + 3i = 3 + i\]
Câu 21: [B]
Câu 22: [C] Đặt z = x + yi
\[\begin{array}{l}|z + 1 - i| \le 3\\ \Leftrightarrow |x + yi + 1 - i| \le 3\\ \Leftrightarrow \left| {\left[ {x + 1} \right] + \left[ {y - 1} \right] \le 3} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ {x + 1} \right]}^2} + {{\left[ {y - 1} \right]}^2}} \le 3\end{array}\]
Điểm biểu diễ số phức z là một hình tròn tâm I[-1,1], bán kính \[r = 3\]
Câu 23: [A] \[{z_1} + {z_2} = 4 + 5i + 1 + 2i = 5 + 7i\]
Câu 24: [B]
Câu 25: [D]