Đề bài
Chứng minh rằng : Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.
Lời giải chi tiết
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD
Xét ABM và MCD ta có:
BM = MC [M là trung điểm của BC]
AM = MD [cách vẽ]
Và \[\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\] [hai góc đối đỉnh]
Do đó: ABM = DCM [c.g.c] \[ \Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {MDC}\]
Mà \[\widehat {BAM}\] và\[\widehat {MDC}\] ở vị trí so le trong. Do đó AB // CD.
Ta có AB // CD, \[AB \bot AC\] [ABC vuông tại A] \[ \Rightarrow CD \bot AC \Rightarrow \widehat {ACD} = 90^\circ\]
Xét ACD và ABC ta có: CD = AB [vì DCM = ABM]
\[\widehat {ACD} = \widehat {BAC}[ = 90^\circ ]\]
AC là cạnh chung
Do đó: ACD = CAB [c.g.c] => AD = BC
Mà \[AM = {1 \over 2}AD[MA = MD]\]. Do đó \[AM = {1 \over 2}BC.\]