Điểm cực trị và giá trị cực trị

Cực trị của hàm số là phần kiến thức cơ bản quan trọng trong đề thi THPT QG. Để thành thạo kiến thức về cực trị của hàm số, học sinh cần nắm vững không chỉ lý thuyết mà còn cần thành thạo cách giải các dạng đặc trưng. Cùng VUIHOC ôn tập tổng hợp lại lý thuyết và các dạng bài tập cực trị hàm số nhé!

Hiểu đơn giản, giá trị mà khiến hàm số đổi chiều khi biến thiên đó chính là cực trị của hàm số. Xét theo hình học, cực trị của hàm số biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và ngược lại. 

Lưu ý: Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu không phải giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Dạng tổng quát, ta có hàm số f xác định trên D (D

 R) và   D

• x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu (a;b) chứa x0 thỏa mãn điều kiện:

Lúc này, f(x) là giá trị cực đại của f.

• x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu (a;b) chứa x0 thỏa mãn điều kiện:

Như vậy, f(x0) là giá trị cực tiểu của f.

1.2. Các định lý liên quan

Đối với kiến thức cực trị của hàm số lớp 12, các định lý về cực trị hàm số thường được áp dụng rất nhiều trong quá trình giải bài tập. Có 2 định lý cơ bản mà học sinh cần nhớ như sau:

• Định lý 1: Cho hàm số 

  
    liên tục trên  đồng thời có đạo hàm trên khoảng K hoặc trên khoảng 
  

• Định lý 2: Cho   đạo hàm trong khoảng 

1.3. Số điểm cực trị của hàm số

Tùy vào từng dạng hàm số thì sẽ có những số điểm cực trị khác nhau, ví dụ như không có điểm cực trị nào, có 1 điểm cực trị ở phương trình bậc hai, có 2 điểm cực trị ở phương trình bậc ba,...

Đối với các số điểm cực trị của hàm số, ta cần lưu ý:

• Điểm cực đại (cực tiểu)  chính là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu)

  
   gọi chung là cực trị. Có thể có cực đại hoặc cực tiểu của hàm số tại nhiều điểm.

• Giá trị cực đại (cực tiểu)  không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f mà chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) chứa 

• Nếu một điểm cực trị của f là  thì điểm

  
   là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

2. Điều kiện để hàm số có điểm cực trị

- Điều kiện cần: Cho hàm số f đạt cực trị tại điểm . Nếu điểm  là điểm đạo hàm của f thì 

Lưu ý:

• Điểm có thể khiến đạo hàm f’ bằng 0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại .

• Hàm số không có đạo hàm nhưng vẫn có thể đạt cực trị tại một điểm.

• Tại điểm đạo hàm của hàm số bằng 0 thì hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại 1 điểm hoặc không có đạo hàm.

• Nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại  và hàm số đạt cực trị tại  thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

- Điều kiện đủ: Giả sử hàm số có đạo hàm trên các khoảng (a;x0) và (;b) và hàm số liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm  thì khi đó:

• Điểm  là cực tiểu của hàm số f(x) thỏa mãn:

Diễn giải theo bảng biến thiên rằng: Khi x đi qua điểm   và f’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt cực đại tại .

• Điểm  là cực đại của hàm số f(x) khi:

Diễn giải theo bảng biến thiên rằng: Khi x đi qua điểm   và f’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số đạt cực đại tại điểm 

3. Quy tắc cực trị của hàm số

Để tiến hành tìm cực trị của hàm số f(x) bất kỳ, ta sử dụng 2 quy tắc tìm cực trị của hàm số để giải bài tập như sau:

3.1. Tìm cực trị của hàm số theo quy tắc 1

• Tìm đạo hàm f’(x).

• Tại điểm đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm, tìm các điểm 

  
  .

• Xét dấu của đạo hàm f’(x). Nếu ta thấy f’(x) thay đổi chiều khi x đi qua   khi đó ta xác định hàm số có cực trị tại điểm .

3.2. Tìm cực trị của hàm số theo quy tắc 2

• Tìm đạo hàm f’(x).

• Xét phương trình f’(x)=0, tìm các nghiệm 

  
  .

• Tính f’’(x) với mỗi :

  • Nếu 

    
     thì khi đó xi là điểm tại đó hàm số đạt cực đại.

  • Nếu 

    
     thì khi đó xi là điểm tại đó hàm số đạt cực tiểu.

4. Cách giải các dạng bài tập toán cực trị của hàm số

4.1. Dạng bài tập tìm các điểm cực trị 

Đây là dạng toán rất cơ bản tổng quan về cực trị của hàm số lớp 12. Để giải dạng bài này, các em học sinh áp dụng 2 quy tắc kèm theo quy trình tìm cực trị của hàm số nêu trên.

Để hiểu hơn về các giải chi tiết, các em cùng VUIHOC xét các ví dụ minh họa sau đây:

Ví dụ 1: Cho các hàm số sau, tìm cực trị:

1. 

Đối với các hàm số không có cực trị như ở ví dụ trên, các em cần chú ý:

• Hàm số không có cực trị nếu y’ không đổi dấu.

• Xét hàm số bậc ba thì y’=0 có 2 nghiệm phân biệt là điều kiện cần và đủ khiến hàm số có cực trị.

2. 

Ví dụ 2: Cho hàm số 

4.2. Bài tập cực trị của hàm số có điều kiện cho trước

Để tiến hành giải bài tập, ta cần thực hiện theo quy trình tìm cực trị tổng quan về cực trị của hàm số có điều kiện sau:

• Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số đã cho.

• Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số y’=f’(x).

• Bước 3: Lựa chọn 2 hướng giải:

  • Trường hợp 1: Nếu y’ xét được dấu thì sử dụng dấu hiệu với lập luận: hàm số có cực trị => Phương trình y’=0 có k nghiệm phân biệt và biến thiên qua các nghiệm đó.

  • Trường hợp 2: Nếu y’ không xét được dấu thì ta tính thêm y’’, khi đó:

Xét ví dụ minh họa sau đây để hiểu hơn về cách giải bài toán tìm cực trị của hàm số có điều kiện:

Ví dụ: Cho hàm số . Áp dụng công thức chứng minh rằng hàm số đã cho luôn có cực đại cực tiểu với mọi m. Đồng thời, khi m thay đổi thì các điểm cực đại cực tiểu luôn chạy trên 2 đường thẳng cố định.

Giải:

4.3. Tìm cực trị của hàm số nhiều biến

Phương pháp giải cực trị của hàm số nhiều biến: giả sử 

 , ,  tồn tại và liên tục tại điểm  (M0 là điểm cực trị)

Lưu ý:

• Khi

  
  (M0)>0 thì a11 và  a22  cùng dấu.

• Khi (M0)=0 thì không kết luận được tổng quát.

Xét ví dụ minh họa sau: Tìm cực trị của hàm số y=x2+y2+2x-6y-3

Giải:

4.4. Tìm số cực trị của hàm số bằng phương pháp biện luận m

Đối với bài toán biện luận m, học sinh cần chia ra 2 dạng hàm số để có cách giải tương ứng. Cụ thể như sau:

• Xét trường hợp cực trị của hàm số bậc ba có:

Đề bài cho hàm số 

• Phương trình (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số không có cực trị.

• Hàm số bậc 3 không có cực trị khi 

  
  .

• Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt suy ra hàm số có 2 cực trị.

• Có 2 cực trị khi 

  
  .

• Xét trường hợp cực trị hàm số bậc bốn trùng phương có:

Đề bài cho hàm số có đồ thị ©

Ta có đạo hàm 

• y’=0 có 1 nghiệm x=0 và © có một điểm cực trị khi và chỉ khi 

  

• y’=0 có 3 nghiệm phân biệt và © có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi 

  

Xét ví dụ minh họa sau đây:

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số  có cả đồng thời cực đại cực tiểu

Giải:

Ví dụ 2: Tìm các giá trị m để hàm số 

có 3 điểm cực trị?

Giải:

4.5. Tìm cực trị của hàm số sin cos

Để tìm cực trị của các hàm số lượng giác sin cos, ta thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số đề bài.

• Bước 2: Tính y’, sau đó giải phương trình y’=0. Giả sử y’=0 có nghiệm 

  
  .

• Bước 3: Tính đạo hàm y’’. Tính

  
   rồi kết luận dựa vào quy tắc 2.

Các em cùng VUIHOC xét ví dụ sau đây để hiểu rõ hơn về cách giải cực trị của hàm số lượng giác:

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số 

trên [0;2]

Giải:

Trên đây là toàn bộ kiến thức về cực trị của hàm số bao gồm lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp nhất trong chương trình học toán 12 cũng như các đề luyện thi THPT QG. Truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để ôn tập nhiều hơn về các dạng toán của lớp 12 nhé!

>> Xem thêm:

Toán 12 | Ôn thi THPTQG 2021 môn Toán

180 clip bài giảng theo từng chủ đề, hơn 6700 bài tập bám sát chương trình ôn thi THPT QG, 20 đề ôn tập có video chữa cụ thể, 30 đề tự luyện, cùng với khóa livestream. Giúp học sinh nắm vững kiến thức, tâm thế vững vàng trước kì thi.

1.500.000₫

Chỉ còn 900.000 ₫

Chỉ còn 2 ngày