Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Trong hình học, sự song song là một đặc tính của các đường thẳng, mặt phẳng, hoặc tổng quát hơn là các không gian afin. Ban đầu, khái niệm song song do Euclide đặt ra trong tác phẩm Cơ sở [Euclid], bộ sách về toán học và hình học nổi tiếng của ông. Theo thời gian, khái niệm này đã chuyển đổi từ một định nghĩa mang tính tiên đề sang một định nghĩa hình học thông thường.
Trong hình học Euclide, hai đường thẳng được gọi là song song khi chúng cùng nằm trên một mặt phẳng và không có điểm chung. Trong trường hợp này, chúng được gọi là không cắt nhau, không giao nhau, hoặc không tiếp xúc nhau.
Hai đường thẳng bất kỳ trong hình học phẳng Euclide chỉ có thể rơi vào 3 trường hợp:
- trùng nhau
- cắt nhau tại ít nhất một điểm nào đó
- song song với nhau
Quan hệ tương đương
Nếu chấp nhận những đường thẳng trùng nhau là song song với nhau, ta thấy mối quan hệ song song mang các tính chất sau:
- phản xạ: một đường thẳng là song song với chính nó,
- đối xứng: Nếu một đường thẳng [d] song song với đường thẳng [d'] thì [d'] cũng song song với [d],
- bắc cầu: Nếu một đường thẳng [d] song song với đường thẳng [d'] và nếu [d'] song song với [d"] thì [d] cũng song song với [d"].
Như vậy, ta kết luận: quan hệ song song là một mối quan hệ tương đương.
Mở rộng ra trên hình học phi Euclide, khái niệm đường thẳng được thay bằng khái niệm đường trắc địa. Hai đường trắc địa trong hình học phi Euclide chỉ có thể rơi vào 3 trường hợp:
- cắt nhau tại ít nhất một điểm xác định nào đó
- song song: cắt nhau tại một điểm ở vô cực [có điểm chung ở vô cực]
- siêu song song: không bao giờ cắt nhau [không bao giờ có điểm chung]
Ký hiệu để biểu thị sự song song là //. Ví dụ, nếu viết AB//CD, nghĩa là đường thẳng AB song song với đường thẳng CD.
Trong bộ mã Unicode, những biểu tượng song song và không song song có code lần lượt là U+2225 [∥] và U+2226 [∦]. Chúng được xếp vào phạm vi Mathematical Operators.
Qua 1 điểm nằm ngoài 1 đường thẳng, có duy nhất 1 đường thẳng song song với đương thẳng đã cho
Hai đường thẳng được gọi là song song khi có một đường thẳng thứ ba cắt hai đường thẳng trên và tạo với hai đường thẳng đó:
- Hai góc so le trong bằng nhau
- Hai góc đồng vị bằng nhau
- Hai góc trong cùng phía bù nhau
- Hai góc ngoài cùng phía bù nhau
- Hai góc so le ngoài bằng nhau
2 đường thẳng cùng vuông góc hoặc cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì 2 đường thẳng đó song song với nhau
Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba và có các cặp góc so le trong bằng nhau thì cặp góc so le trong còn lại cũng bằng nhau và các cặp góc so le ngoài cũng bằng nhau và các cặp góc đồng vị bằng nhau và các cặp trong cùng phía bù nhau và các cặp ngoài cùng phía bù nhau
Đường thẳng song song với mặt phẳng
Nếu một đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng khác nằm trong mặt phẳng thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng
Qua một đường thẳng song song với một mặt phẳng, giao tuyến của mặt phẳng đã cho với mọi mặt phẳng chứa đường thẳng đã cho sẽ song song với đường thẳng đó
Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng thì đường thẳng đó sẽ song song với ít nhất một đường thẳng trong mặt phẳng.
Một đường thẳng song song với giao tuyến của 2 mặt phẳng thì đường thẳng đó song song với 2 mặt phẳng đã cho và ngược lại
Cho 2 đường thẳng chéo nhau, khi đó có duy nhất 1 mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
2 mặt phẳng song song
Nếu một mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia thì 2 mặt phẳng đó song song với nhau.
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua 1 điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước và song song với mặt phẳng đó
Qua một đường thẳng song song với một mặt phẳng, có duy nhất 1 mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho và chứa đường thẳng đó.
2 mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ 3 thì 2 mặt phẳng đó song song với nhau.
Một mặt mẳng cắt 2 mặt phẳng song song thì tạo ra 2 giao tuyến song song
Một đường thẳng vuông góc với một trong 2 đường thẳng song song thì đường thẳng đó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại
- Vuông góc
- Định lý Thales
- Phan Đức Chính và đồng nghiệp, Sách giáo khoa Toán lớp 7 tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
- Trần Văn Hạo và đồng nghiệp, Sách giáo khoa Hình học 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
Lấy từ “//vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Song_song&oldid=65352220”
Cách chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gian
Hướng dẫn cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian qua 2 phương pháp thường dùng. Có các ví dụ minh họa kèm lời giải chi tiết.
Nhắc lại định nghĩa: Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
Để chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gian [lớp 11] chúng ta có thể áp dụng trong các cách dưới đây:
– Cách 1: Chứng minh chúng đồng phẳng rồi sử dụng các định lí đường trung bình, Thales đảo … quen thuộc trong hình học phẳng.
– Cách 2: Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba.
– Cách 3: Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến [nếu có] của chúng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Bài tập chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gian
Bài 1:Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD.Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD
Bài giải
Gọi E là trung điểm của AB. theo tính chất trọng tâm ta có tỉ số EJ/ED = EI/EC = 1/3 [ Tính chất trọng tâm]
⇒ IJ // CD [ Định lí talet đảo ]
Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trungđiểm các cạnh SA , SB , SC , SD
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành
b. Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của [A’B’M] với hình chóp S.ABCD
Bài giải
Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành:
Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ // AB
Trong tam giác SCD, ta có C’D’//CD Mặt khác AB // CD ⇒ A’B’ // C’D’
Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành
Tìm thiết diện của [A’B’M] với hình chóp S.ABCD:
Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của [A’B’M] và [ABCD]
Do đó giao tuyến của [A’B’M] và [ABCD] là Mx song song AB và A’B’.Gọi N = Mx ∩ AD
Vậy : thiết diện là hình thang A’B’MN
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD [AB >CD]. Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB
a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD
b. Tìm P = SC ∩ [ADN]
c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I.Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD . Tứ giác SABI là hình gì ?
Bài giải
Chứng minh : MN∕ ∕ CD :
Trong tam giác SAB, ta có : MN∕ ∕AB
Mà AB∕ ∕CD [ ABCD là hình thang ]
Vậy : MN ∕ ∕ CD
Tìm P = SC ∩[ADN]:
- Chọn mp phụ [SBC]⊃ SC
- Tìm giao tuyến của [SBC ] và [ADN]
Ta có : N là điểm chung của [SBC ] và [ADN]
Trong [ABCD], gọi E = AD∩ AC
⇒ [ SBC] ∩ [ADN ] = NE
- Trong [SBC], gọi P = SC ∩ NE
Vậy : P = SC ∩ [ ADN ]
Chứng minh : SI //AB // CD . Tứ giác SABI là hình gì ?
SI = [SAB]∩[SCD]
AB // CD
⇒ SI // AB // CD [1]
Trong tam giác SAI có SI // MN , SI = 2MN và AB = 2 MN⇒ SI = AB [2]
Từ [1] và [2]⇒ SABI là hình bình hành
Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang [đáy lớn AB]. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SK = 2/3SB .
a. Tìm giao tuyến của [SAB] và [IJK]
b. Tìm thiết diện của [IJK] với hình chóp S.ABCD. Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành
Bài giải
Tìm giao tuyến của [SAB] và [IJK]:
Ta có : AB ∕ ∕ IJ và K là điểm chung của [SAB] và [IJK] Vậy : giao tuyến là đường thẳng Kx song song AB
Tìm thiết diện của [IJK] với hình chóp S.ABCD:
Gọi L = Kx ∩ SA
Thiết diện là hình thang IJKL
Do : IJ là đường trung bình của hình thang ABCD⇒ IJ = 1/2[AB + CD]
Xét tam giácSAB có : LK/AB = SK/SB = 2/3 ⇒ LK =2/3.AB
IJKL là hình bình hành ⇔ IJ = KL⇔ 1/2.[AB + CD] = 2/3.AB⇔ AB = 3.CD
Vậy : thiết diện IJKL là hình bình hành ⇔ AB = 3.CD
Bài 5:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M ,N ,P , Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC , SC , SD ,AD sao cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD
a. Chứng minh : PQ // SA.
b. Gọi K = MN ∩ PQ. Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.
Bài giải
Chứng minh : PQ // SA.
Xét tam giác SCD.Ta có : NP // CD ⇔ DP/SD = CN/CS [1]
tương tự MN // SB ta có CN /CS = CM/CB [2]
Ta có MQ // AB⇒ CM / CB = DQ/ DA [3]
từ [1], [2] và [3] ⇒ DP / DS = DQ / DA ⇒ PQ // SA
Toán lớp 11 - Tags: đường thẳng, không gian, song song30 câu trắc nghiệm Phép tịnh tiến có lời giải – Toán lớp 11
Tổng hợp kiến thức cơ bản Toán lớp 11 – Nguyễn Thanh Nhàn
Lý thuyết khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau
Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian
Tổng hợp các chuyên đề Toán lớp 11
30 câu trắc nghiệm cấp số cộng, cấp số nhân có đáp án
Đề cương ôn tập Toán 11 học kỳ II năm 2017-2018