Phương trình sinx = a vuông nghiệm khi

1. Phương trình lượng giác cơ bản

a) Phương trình \(\sin x = m\).

+) Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin m + k2\pi \\x = \pi  - \arcsin m + k2\pi \end{array} \right.\)

Đặc biệt: \(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

b) Phương trình \(\cos x = m\).

+) Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arccos m + k2\pi \\x =  - \arccos m + k2\pi \end{array} \right.\)

Đặc biệt: \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

c) Phương trình \(\tan x = m\).

Phương trình luôn có nghiệm \(x = \arctan m + k\pi \).

Đặc biệt: \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

d) Phương trình \(\cot x = m\).

Phương trình luôn có nghiệm \(x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} m + k\pi \).

Đặc biệt: \(\cot x = \cot \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

e) Các trường hợp đặc biệt

\( + )\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;\) \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)

\( + )\sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\) \(\cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \)

\( + )\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\)  \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \)

2. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

- Phương trình \(at + b = 0\left( {a,b \in R,a \ne 0} \right)\) với \(t = \sin x\left( {\cos x,\tan x,\cot x} \right)\) là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác \(\sin ,\cos ,\tan ,\cot \).

- Cách giải: Biến đổi \(at + b = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{b}{a}\) và giải phương trình lượng giác cơ bản.

3. Một số chú ý khi giải phương trình

- Khi giải phương trình lượng giác có chứa \(\tan ,\cot \), chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.

- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.

1. Phương trình lượng giác cơ bản

a) Phương trình \(\sin x = a\)

+) Nếu \(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu \(\left| a \right| \le 1\) thì phương trình \(\sin x = a\) có các nghiệm \(x = \arcsin a + k2\pi \) và\(x = \pi  - \arcsin a + k2\pi \)

Đặc biệt:

+) \(\sin f(x) = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = \alpha  + k2\pi \\f(x) = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

+) \(\sin f(x) = \sin {\beta ^0}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = \beta ^0 + k{360^0}\\f(x) = {180^0} - \beta  ^0+ k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

b) Phương trình \(\cos x = a\)

+) Nếu \(\left| a \right| > 1\) thì phương trình vô nghiệm.

+) Nếu \(\left| a \right| \le 1\) thì phương trình \(\cos x = a\) có các nghiệm \(x = \arccos a + k2\pi \) và  \(x =  - \arccos a + k2\pi \)

Đặc biệt:

+) \(\cos f(x) = \cos \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = \alpha  + k2\pi \\f(x) =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

+) \(\cos f(x) = \cos {\beta ^0}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = \beta ^0 + k{360^0}\\f(x) =  - \beta ^0 + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

c) Phương trình \(\tan x = a\)

Phương trình luôn có nghiệm \(x = \arctan a + k\pi \).

Đặc biệt:

+) \(\tan x = \tan \alpha \) \( \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

+) \(\tan x = \tan {\beta ^0}\) \( \Leftrightarrow x = {\beta ^0} + k{180^0}\)

d) Phương trình \(\cot x = a\)

Phương trình luôn có nghiệm \(x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} a + k\pi \).

Đặc biệt:

+) \(\cot x = \cot \alpha \) \( \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

+) \(\cot x = \cot {\beta ^0}\) \( \Leftrightarrow x = {\beta ^0} + k{180^0},k \in Z\)

e) Các trường hợp đặc biệt

* Phương trình \(\sin x = a\)

\( + \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;\) 

\( + \sin x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\)

\( + \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\)  

* Phương trình \(\cos x = a\)

\( + \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \)

\( + \cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \)

\( + \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \)

2. Một số chú ý khi giải phương trình.

- Khi giải phương trình lượng giác có chứa \(\tan ,\cot \), chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.

- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.

Loigiaihay.com

1. Phương trình $\sin x = a$ (1)

* $\left| a \right| > 1$: phương trình (1) vô nghiệm.

* $\left| a \right| \le 1$: gọi $\alpha $ là một cung thỏa mãn $\sin \alpha  = a$. Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là:

$x = \alpha  + k2\pi ,k \in Z$

Và $x = \pi  - \alpha  + k2\pi ,k \in Z$

Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $ - \frac{\pi }{2} \le \alpha  \le \frac{\pi }{2}$ và $\sin \alpha  = a$ thì ta viết $\alpha  = \arcsin \alpha $.

Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

$x = \arcsin \alpha  + k2\pi ,k \in Z$

Và $x = \pi  - \arcsin \alpha  + k2\pi ,k \in Z$.

Phương trình $\sin x = \sin {\beta ^o}$ có các nghiệm là:

$x = {\beta ^o} + k{360^o},k \in Z$

Và $x = {180^o} - {\beta ^o} + k{360^o},k \in Z$.

2. Phương trình $\cos x = a$ (2)

* $\left| a \right| > 1$:  phương trình (2) vô nghiệm.

* $\left| a \right| \le 1$: gọi $\alpha $ là một cung thỏa mãn $\cos \alpha  = a$. Khi đó phương trình (2) có nghiệm là:

$x =  \pm \alpha  + k2\pi ,k \in Z$

Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $0 \le \alpha  \le \pi $ và $\cos \alpha  = a$ thì ta viết $\alpha  = \arccos \alpha $.

Khi đó nghiệm của phương trình (2) là:

$x =  \pm \arcsin \alpha  + k2\pi ,k \in Z$

Phương trình $\cos x = \cos {\beta ^o}$ có nghiệm là:

$x =  \pm {\beta ^o} + k{360^o},k \in Z$

3. Phương trình $\tan x = a$ (3)

Điều kiện của phương trình (3): $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z$

Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $ - \frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{\pi }{2}$ và $\tan \alpha  = a$ thì ta viết $\alpha  = \arctan \alpha $.

Lúc đó nghiệm của phương trình (3) là:

$x = \arctan \alpha  + k\pi ,k \in Z$

Phương trình $\tan x = \tan {\beta ^o}$ có nghiệm là:

$x = {\beta ^o} + k{180^o},k \in Z$

4. Phương trình $\cot x = a$ (4)

Điều kiện của phương trình (4): $x \ne k\pi ,k \in Z$

Nếu  $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $0 < \alpha  < \pi $ và $\cot \alpha  = a$ thì ta viết $\alpha  = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \alpha $.

Lúc đó nghiệm của phương trình (4) là:

$x = {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cot \alpha  + k\pi ,k \in Z$

Phương trình $\cot x = \cot {\beta ^o}$ có nghiệm là:

Page 2

SureLRN