1. Phương trình lượng giác cơ bản
a] Phương trình \[\sin x = m\].
+] Nếu \[\left| m \right| > 1\] thì phương trình vô nghiệm.
+] Nếu \[\left| m \right| \le 1\] thì phương trình \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arcsin m + k2\pi \\x = \pi - \arcsin m + k2\pi \end{array} \right.\]
Đặc biệt: \[\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
b] Phương trình \[\cos x = m\].
+] Nếu \[\left| m \right| > 1\] thì phương trình vô nghiệm.
+] Nếu \[\left| m \right| \le 1\] thì phương trình \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arccos m + k2\pi \\x = - \arccos m + k2\pi \end{array} \right.\]
Đặc biệt: \[\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
c] Phương trình \[\tan x = m\].
Phương trình luôn có nghiệm \[x = \arctan m + k\pi \].
Đặc biệt: \[\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left[ {k \in Z} \right]\]
d] Phương trình \[\cot x = m\].
Phương trình luôn có nghiệm \[x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} m + k\pi \].
Đặc biệt: \[\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left[ {k \in Z} \right]\]
e] Các trường hợp đặc biệt
\[ + ]\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;\] \[\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \]
\[ + ]\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\] \[\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \]
\[ + ]\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\] \[\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \]
2. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
- Phương trình \[at + b = 0\left[ {a,b \in R,a \ne 0} \right]\] với \[t = \sin x\left[ {\cos x,\tan x,\cot x} \right]\] là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác \[\sin ,\cos ,\tan ,\cot \].
- Cách giải: Biến đổi \[at + b = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{b}{a}\] và giải phương trình lượng giác cơ bản.
3. Một số chú ý khi giải phương trình
- Khi giải phương trình lượng giác có chứa \[\tan ,\cot \], chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.
- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.
1. Phương trình lượng giác cơ bản
a] Phương trình \[\sin x = a\]
+] Nếu \[\left| a \right| > 1\] thì phương trình vô nghiệm.
+] Nếu \[\left| a \right| \le 1\] thì phương trình \[\sin x = a\] có các nghiệm \[x = \arcsin a + k2\pi \] và\[x = \pi - \arcsin a + k2\pi \]
Đặc biệt:
+] \[\sin f[x] = \sin \alpha \] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f[x] = \alpha + k2\pi \\f[x] = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
+] \[\sin f[x] = \sin {\beta ^0}\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f[x] = \beta ^0 + k{360^0}\\f[x] = {180^0} - \beta ^0+ k{360^0}\end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
b] Phương trình \[\cos x = a\]
+] Nếu \[\left| a \right| > 1\] thì phương trình vô nghiệm.
+] Nếu \[\left| a \right| \le 1\] thì phương trình \[\cos x = a\] có các nghiệm \[x = \arccos a + k2\pi \] và \[x = - \arccos a + k2\pi \]
Đặc biệt:
+] \[\cos f[x] = \cos \alpha \] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f[x] = \alpha + k2\pi \\f[x] = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
+] \[\cos f[x] = \cos {\beta ^0}\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f[x] = \beta ^0 + k{360^0}\\f[x] = - \beta ^0 + k{360^0}\end{array} \right.\left[ {k \in Z} \right]\]
c] Phương trình \[\tan x = a\]
Phương trình luôn có nghiệm \[x = \arctan a + k\pi \].
Đặc biệt:
+] \[\tan x = \tan \alpha \] \[ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left[ {k \in Z} \right]\]
+] \[\tan x = \tan {\beta ^0}\] \[ \Leftrightarrow x = {\beta ^0} + k{180^0}\]
d] Phương trình \[\cot x = a\]
Phương trình luôn có nghiệm \[x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} a + k\pi \].
Đặc biệt:
+] \[\cot x = \cot \alpha \] \[ \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left[ {k \in Z} \right]\]
+] \[\cot x = \cot {\beta ^0}\] \[ \Leftrightarrow x = {\beta ^0} + k{180^0},k \in Z\]
e] Các trường hợp đặc biệt
* Phương trình \[\sin x = a\]
\[ + \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;\]
\[ + \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\]
\[ + \sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\]
* Phương trình \[\cos x = a\]
\[ + \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \]
\[ + \cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \]
\[ + \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \]
2. Một số chú ý khi giải phương trình.
- Khi giải phương trình lượng giác có chứa \[\tan ,\cot \], chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,…thì cần đặt điều kiện cho ẩn.
- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.
Loigiaihay.com
1. Phương trình $\sin x = a$ [1]
* $\left| a \right| > 1$: phương trình [1] vô nghiệm.
* $\left| a \right| \le 1$: gọi $\alpha $ là một cung thỏa mãn $\sin \alpha = a$. Khi đó phương trình [1] có các nghiệm là:
$x = \alpha + k2\pi ,k \in Z$
Và $x = \pi - \alpha + k2\pi ,k \in Z$
Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $ - \frac{\pi }{2} \le \alpha \le \frac{\pi }{2}$ và $\sin \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \arcsin \alpha $.
Khi đó các nghiệm của phương trình [1] là:
$x = \arcsin \alpha + k2\pi ,k \in Z$
Và $x = \pi - \arcsin \alpha + k2\pi ,k \in Z$.
Phương trình $\sin x = \sin {\beta ^o}$ có các nghiệm là:
$x = {\beta ^o} + k{360^o},k \in Z$
Và $x = {180^o} - {\beta ^o} + k{360^o},k \in Z$.
2. Phương trình $\cos x = a$ [2]
* $\left| a \right| > 1$: phương trình [2] vô nghiệm.
* $\left| a \right| \le 1$: gọi $\alpha $ là một cung thỏa mãn $\cos \alpha = a$. Khi đó phương trình [2] có nghiệm là:
$x = \pm \alpha + k2\pi ,k \in Z$
Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $0 \le \alpha \le \pi $ và $\cos \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \arccos \alpha $.
Khi đó nghiệm của phương trình [2] là:
$x = \pm \arcsin \alpha + k2\pi ,k \in Z$
Phương trình $\cos x = \cos {\beta ^o}$ có nghiệm là:
$x = \pm {\beta ^o} + k{360^o},k \in Z$
3. Phương trình $\tan x = a$ [3]
Điều kiện của phương trình [3]: $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z$
Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $ - \frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}$ và $\tan \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = \arctan \alpha $.
Lúc đó nghiệm của phương trình [3] là:
$x = \arctan \alpha + k\pi ,k \in Z$
Phương trình $\tan x = \tan {\beta ^o}$ có nghiệm là:
$x = {\beta ^o} + k{180^o},k \in Z$
4. Phương trình $\cot x = a$ [4]
Điều kiện của phương trình [4]: $x \ne k\pi ,k \in Z$
Nếu $\alpha $ thỏa mãn điều kiện $0 < \alpha < \pi $ và $\cot \alpha = a$ thì ta viết $\alpha = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \alpha $.
Lúc đó nghiệm của phương trình [4] là:
$x = {\mathop{\rm arc}\nolimits} \cot \alpha + k\pi ,k \in Z$
Phương trình $\cot x = \cot {\beta ^o}$ có nghiệm là:
$x = {\beta ^o} + k{180^o},k \in Z$Page 2
SureLRN