Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.
a] Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân.
b] Kẻ BH ⊥ AM [H AM], kẻ CK ⊥ AN [K. Chứng minh rằng BH = CK.
c] Chứng minh rằng AH = AK.
d] Gọi O là giao điểm của HB và KC. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao ?
e] Khi \[\widehat {BAC} = {60^0}\] và BM = CN = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định dạnh của tam giác OBC.
Hướng dẫn làm bài:
a] ∆ABC cân, suy ra \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\] [1]
\[\widehat {{B_1}} + \widehat {ABM} = {180^0}\] [hai góc kề bù] [2]
\[\widehat {{C_1}} + \widehat {ACN} = {180^0}\] [hai góc kề bù] [3]
Từ [1], [2], [3] \[\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\]
Xét ∆ABM và ∆CAN có:
+] AB = AC [gt]
+] \[\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\] [cmt]
+] BM = CN [gt]
\[\Rightarrow\] ∆ABM = ∆CAN [c-g-c]
Suy ra \[\widehat M = \widehat N\]
Vậy ∆AMN là tam giác cân ở A.
b] Hai tam giác vuông ∆BHM và ∆CKN có :
BM = CN [gt]
\[\widehat M = \widehat N\] [CM từ câu a]
Nên ∆BHM = ∆CHN [cạnh huyền, góc nhọn]
Suy ra BH = CK.
c] Theo câu [a] ta có tam giác AMN cân ở A nên AM = AN [*]
Theo câu b ta có ∆BHM = ∆CKN nên suy ra HM = KN [**].
Do đó AH = AM – HM = AN – KN [theo [*] và [**]] = AK
Vậy AH = AK.
d] ∆BHM = ∆CKN suy ra \[\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\]
Mà \[\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}\] [đối đỉnh]; \[\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}\] [đối đỉnh]
Nên \[\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}\] .
Vậy ∆OBC là tam giác cân.
e] Khi \[\widehat {BAC} = {60^0}\] và BM = CN = BC hình được vẽ lại như sau:
+Tam giác cân ABC có \[\widehat {BAC} = {60^0}\] nên là tam giác đều hay AB = BC = AC
Mặt khác: BM = CN = BC [gt]
Do đó: AB = BC = AC = BM = CN
Ta có: \[\widehat {ABM} = \widehat {ACN} = {120^0}\] [cùng bù với 600]
Vì AB = BM [cmt] nên ∆ABM cân ở B suy ra \[\widehat M = \widehat {BAM} = {{{{180}^0} – {{120}^0}} \over 2} = {30^0}\] .
Suy ra \[\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = {30^0}\] .
Và \[\widehat {MAN} = {180^0} – \left[ {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right]\]
\[ = {180^0} – {2.30^0} = {120^0}\]
Vậy ∆AMN có \[\widehat M = \widehat N = {30^0};\widehat A = {120^0}.\]
+∆BHM có: \[\widehat M = {30^0}\] nên \[\widehat {{B_2}} = {60^0}\] [hai góc phụ nhau]
Suy ra \[\widehat {{B_3}} = {60^0}\]
Tương tự \[\widehat {{C_3}} = {60^0}\]
Tam giác OBC có \[\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}} = {60^0}\] nên tam giác OBC là tam giác đều.
[Tam giác cân có một góc bằng 600 nên là tam giác đều].
Bài 70 [trang 141 SGK Toán 7 Tập 1]
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.
a] Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân
b] Kẻ BH ⊥ AM, kẻ CK ⊥ Chứng minh rằng BH = CK
c] CMR AH = AK
d] Gọi O là giao điểm của HB và KC. Tam giác OBC là tam giác gì ? Vì sao
e] Khi góc BAC = 60ovà BM = CN = BC hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định dạng của tam giác OBC
Lời giải:
a] Ta có ΔABC cân tại A suy ra
Lại có :
- Xét ΔABM và ΔACN có
AB = AC [Do ΔABC cân tại A].
BM = CN[gt]
Nên ΔABM = ΔACN [c.g.c]
⇒ AM = AN [2 góc tương ứng]
⇒ ΔAMN cân tại A.
b] Xét 2 tam giác vuông BHM và CKN có
BM = CN [gt]
Nên ΔBHM = ΔCKN [cạnh huyền – góc nhọn]
⇒ BH = CK [2 cạnh tương ứng]
c] Theo câu b ta có ΔBHM = ΔCKN ⇒HM = KN [2 góc tương ứng]
Mà AM = AN ⇒ AM –MH = AK – KN hay AH = AK.
d] ΔBHM = ΔCKN
Vậy tam giác OBC là tam giác cân tại O.
e] Khi góc BAC = 60º và BM = CN = BC
Tam giác cân ABC có góc BAC = 60º nên là tam giác đều
⇒ AB = BC và góc B1 = 60º
Ta có: AB = CB, BC = BM [gt] ⇒ AB = BM ⇒ ΔABM cân ở B ⇒
Áp dụng tính chất góc ngoài trong ΔBAM:
Tương tự ta có
Tam giác cân OBC có góc B3=60º nên ΔOBC là tam giác đều.
Xem toàn bộ Giải Toán 7: Ôn tập chương 2 - Phần Hình học
Giải bài Ôn tập chương 2 hình 7: Bài 67 trang 140; Bài 68, 69, 70, 71, 72 ,73 trang 141 SGK Toán 7 tập 1. Bài ôn tập chương II hình học lớp 7: Tam giác.
Các kiến thức cần nhớ chương 2:
- Tổng ba góc trong Δ.
- Các trường hợp bằng nhau của hai Δ.
- Các tam giác đặc biệt: Δcân, Δđều, tam giác vuông.
- Định lý PiTaGo.
- Các trường hợp bằng nhau của Δvuông.
Bài 67.Điền dấu “X” vào chỗ trống […] một cách thích hợp nhất
| Câu | Đúng | Sai |
| 1. Trong mộtΔ, góc nhỏ nhất là ∠nhọn | … | … |
| 2. Trong một Δ, có ít nhất là hai ∠nhọn | … | … |
| 3.Trong một Δ, góc lớn nhất là ∠tù | … | … |
| 4. Trong một Δuông, hai ∠nhọn bù nhau | … | … |
| 5. Nếu ∠A là ∠đáy của một Δcân thì ∠A < 900 | … | … |
| 6. Nếu ∠A là ∠ở đỉnh của một Δ thì ∠A < 900 | … | … |
Đáp án bài 67:
| Câu | Đúng | Sai |
| 1. Trong một Δ, ∠nhỏ nhất là ∠nhọn | X | … |
| 2. Trong mộtΔ, có ít nhất là hai ∠nhọn | X | … |
| 3.Trong một Δ, ∠lớn nhất là ∠tù | … | X |
| 4. Trong một Δvuông, hai ∠ nhọn bù nhau | … | X |
| 5. Nếu ∠A là ∠đáy của một Δcân thì ∠A < 900 | X | … |
| 6. Nếu ∠A là ∠ở đỉnh của mộtΔcân thì ∠A < 900 | … | X |
Bài 68. Các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từ định lí nào?
a] Góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
b] Trong một Δvuông, hai góc nhọn phụ nhau.
c]Trong một Δđều, các góc bằng nhau.
d] Nếu mộtΔ có ba góc bằng nhau thì đó l àΔđều.
Đáp án bài 68: Các tính chất a], b] được suy ra từ định lí: TỔNG BA GÓC CỦA MỘTΔ BẰNG 1800
c] được suy ra từ định lí: TRONG MỘTΔCÂN, HAI GÓC Ở ĐÁY BẰNG NHAU
d] được suy ra từ định lí: NẾU MỘT Δ CÓ HAI GÓC BẰNG NHAU THÌ Δ ĐÓ LÀ ΔCÂN
Bài 69 trang 141. Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng a. Vẽ cung tròn tâm A cắt đường thẳng a ở B và C. Vẽ các cung tròn tâm B và C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại một điểm khác A, gọi điểm đó là D. Hãy giải thích vì sao AD vuông góc với đường thẳng a.
Đáp án và hướng dẫn giải bài 69:
*] Trường hợp D và A nằm khác phía đối với a [chứng minh tương tự].
Vì cung tròn tâm A cắt a ở B và C nên AB = AC. Mặt khác cung tâm B và C có cùng bán kính cắt nhau tại D nên DB = DC.
Xét ΔABD và ΔACD có : AB = AC [gt] BD = CD [gt] AD là cạnh chung
ΔABD = ΔACD [c.c.c] ⇒∠A1 = ∠A2 [góc tương ứng]
Xét ΔAHB và ΔAHC có: AB = AC [gt]
∠A1 = ∠A2 [c/m trên]
AH là cạnh chung ⇒ ΔAHB = ΔAHC [c.g.c] ⇒∠AHB = ∠AHC [góc tương ứng]Mà ∠AHB +∠AHC = 1800 [ 2 góc kề bù ]
⇒ ∠AHB = ∠AHC = 900
⇒ AD ⊥ a
*] Trường hợp D và A nằm cùng phía đối với a [chứng minh tương tự].
Bài 70 trang 141 Toán 7 tập 1. Cho ΔABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. a] Chứng minh: ΔAMN là Δcân. b] Kẻ BH ⊥ AM [H ∈ AM],kẻ CK ⊥ AN [K ∈ AN]. Chứng minh: BH = CK c] Chứng minh : AH = AK d] Gọi O là giao điểm của HB và KC.ΔOBC là tam giác gì? Vì sao?
e] Khi ∠BAC = 600và BM = CN =BC, hãy tính số đo các góc của ΔAMN và xác định dạng của ΔOBC.
Đáp án:
a] ΔABC cân tại A ⇒ ∠ABC = ∠ACB
⇒∠ABM = ∠ACN [vì ∠ABC + ∠ABM = ∠ACB + ∠ACN = 1800]
Xét ΔABM và ΔACN có:
AB = AC [gt]; ∠ABM = ∠ACN [cmtrên]; MB = NC [gt]
⇒ ΔABM = ΔACN [c.g.c]
⇒ AM = AN [Cạnh tương ứng]
⇒ ΔAMN cân tại A
b] Xét ΔHBM và ΔKCN có:
∠H = ∠K [=900]
MB = NC [gt]
∠HMB = ∠KNC [ΔAMN cân ở A]
⇒ ΔHBM = ΔKCN [Cạnh huyền – góc nhọn]
⇒ HB =KC [Cạnh tương ứng]
c] Ta có AM = AN [1] [ΔAMN cân ở A] HM = KN [2] [ΔHBM = ΔKCN]
Từ [1] và [2] suy ra AM – HM = AN -KN hay AH = AK
d] Ta có ∠B2 = ∠C2 [ΔHBM = ΔKCN]
∠B3 = ∠B2 [Đối đỉnh]
∠C3 = ∠C2 [Đối đỉnh]
⇒ ∠B3 = ∠C3 ⇒ ΔBOC cân ở O
e]
+] ΔABC cân có ∠BAC = 600 ⇒ ΔABC đều ⇒ ∠B1 =600
Có ΔABM cân [Vì AB = BM = BC]
⇒ ∠M = ∠B1/2= 600/2 =300 [T/c góc ngoài tam giác]
⇒ ∠N = 300 [ΔAMN cận tại A]
⇒ ∠MAN = 1800 – [300 +300] = 1200
+] Xét ΔBHM có ∠H = 900, ∠M = 300 ⇒ ∠B2 =900 – ∠M = 900 – 300 =600
⇒ ∠B3 =600 [Do ∠B2 và ∠B3 đối đỉnh]
Mà ΔBOC là Δcân nên Δ BOC là Δđều.
Bài 71. ΔABC trên giấy kẻ ô vuông [h.151] là Δ gì? Vì Sao?
Cách 1:
ΔAHB = ΔCKA [c.g.c]
⇒AB = CA, ∠BAH = ∠ACK
Ta lại có ∠ACK + ∠CAK = 900
nên ∠BAH + ∠CAK = 900
Do đó ∠BAC = 900
Vậy ΔABC là Δvuông cân tại A.
Cách 2:
Gọi độ dài của mỗi cạnh ô vuông là 1. Theo đinhj lý pitago:
AB2 = 22 +32 =4 +9 =13
AC2= 22+ 32 =4 +9 =13
BC2 =12 +52 =1 +15 =26
Do BC2 = AB2 +AC2
nên ∠BAC = 900 [Đl pitago đảo]
Do AB2 = AC2 nên AB = AC. Vậy ΔABC là Δvuông cân.
Bài 72. Đố vui: Dũng đố cường dùng 12 que diêm bằng nhau để xếp thành: a] Một Δđều; b] Một Δcân mà không đều; c] Một Δvuông.
Em hãy giúp Cường trong những trường hợp trên.
Đáp án: a] Xếp Δđều: Xếp Δ với mỗi cạnh là bốn que diêm.
b] Một Δ cân mà không đều: 2 cạnh bên 5 que diêm, cạnh đáy 2 que.
c] Xếp Δvuông: Xếp Δ có các cạnh lần lượt là ba, bốn và năm que diêm. [Cạnh huyền 5 que diêm, 2 cạnh bên lần lượt là 3,4 que diêm].
Bài 73 trang 141 – Ôn tập chương 2
Đố : Trên hình 152, một cầu trượt có đường lên BA dài 5m, độ cao AH là 3m, độ dài BC là 10m và CD là 2m. Bạn Mai nói rằng đường trượt tổng cộng ACD gấp hơn hai lần đường lên BA. Bạn Vân nói rằng điều đó không đúng. Ai đúng, ai sai ?
Hướng dẫn giải bài 73:
Hướng dẫn:
– Tính HB?
– Tính HC?
– Tính AC?
– So sánh AC + CD vaø 2.BA
+ Xét ΔAHB vuông tại H, ta có:
AB2 = AH2 + HB2 [Định lí Pytago]
⇒ HB2 = AB2 -AH2
⇒ HB2 = 52 -32 =25 -9 =16
⇒ HB = 4 [Vì HB >0]
+ Vì H nằm giữa B và C nên suy ra:
HC = BC – HB = 10 – 4 = 6;
+ Xét ΔAHC vuông tại H, ta có
AC2 = AH2 + HC2 [Định lí Pytago]
AC2 = 32+62 = 9 +36 =45
⇒AC = √45 [vì AC > 0]
hay AC ≈ 6,71
Có AC + DC ≈ 6,71 + 2 = 8,71