Xét các số thực dương ab thỏa mãn a,b 2 tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a 2b

Xét các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({\log _2}\dfrac{{1 - ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b - 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của \(P = a + 2b\).

A.

\({P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 3}}{2}\)

B.

\({P_{\min }} = \dfrac{{3\sqrt {10} - 7}}{2}\)

C.

\({P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 1}}{2}\)

D.

\({P_{\min }} = \dfrac{{2\sqrt {10} - 5}}{2}\)

Câu hỏi: Cho các số thực dương \(a\), \(b\) thỏa mãn \(\ln \frac{{2 – 2ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b – 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của \(P = a + 2b\).

A. \({P_{\min }} = \frac{{2\sqrt {10}- 3}}{2}\). 

B. \({P_{\min }} = \frac{{3\sqrt {10}- 7}}{2}\). 

C. \({P_{\min }} = \frac{{2\sqrt {10}- 1}}{2}\). 

D. \({P_{\min }} = \frac{{2\sqrt {10}- 5}}{2}\).

Điều kiện: \(ab < 1\).

Ta có \(\ln \frac{{2 – 2ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b – 3\)\( \Leftrightarrow \ln \left[ {2 – 2ab} \right] + \left( {2 – 2ab} \right) = \ln \left( {a + b} \right) + \left( {a + b} \right)\,\left( * \right)\).

Xét hàm số \(y = f\left( t \right) = \ln t + t\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{t} + 1 > 0,\forall t > 0\). Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó, \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left[ {2\left( {1 – ab} \right)} \right] = f\left( {a + b} \right)\)\( \Leftrightarrow 2\left( {1 – ab} \right) = a + b\)\( \Leftrightarrow a\left( {2b + 1} \right) = 2 – b\)\( \Leftrightarrow a = \frac{{ – b + 2}}{{2b + 1}}\).

Ta có \(P = a + 2b = \frac{{ – b + 2}}{{2b + 1}} + 2b = g\left( b \right)\).

\(g’\left( b \right) = \frac{{ – 5}}{{{{\left( {2b + 1} \right)}^2}}} + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {2b + 1} \right)^2} = \frac{5}{2}\)\( \Leftrightarrow 2b + 1 = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\)\( \Leftrightarrow b = \frac{{\sqrt {10}- 2}}{4}\).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra \({P_{\min }} = g\left( {\frac{{\sqrt {10}- 2}}{4}} \right) = \frac{{2\sqrt {10}- 3}}{2}\).

• lý thuyết
• trắc nghiệm
• hỏi đáp
• bài tập sgk

xét các số thực dương a,b thỏa mãn a+b=2. Tìm max của biểu thức P=a^2*b

Các câu hỏi tương tự

• lý thuyết
• trắc nghiệm
• hỏi đáp
• bài tập sgk

xét các số thực dương a,b thỏa mãn a+b=2 . tìm Max của biểu thức P=a2b

Các câu hỏi tương tự