Ý nghĩa hình học của đạo hàm theo hướng doc
Đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại \(x_0\) được định nghĩa là \(y'(x_0)=\mathop{\lim}\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\). Ta có \(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) là hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm \(M_0\big(x_0;f(x_0)\big)\) và \(M\big(x;f(x)\big)\). Do đó \(y'(x_0)\) chính là giới hạn của hệ số góc đó khi \(M\) dần về \(M_0\) dọc theo đường cong. Vậy \(y'(x_0)\) là hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M_0\). Show
Trong bài này, chúng ta sẽ hiểu chi tiết khái niệm đạo hàm có hướng. Chúng ta sẽ tìm hiểu định nghĩa, công thức, gradient và các thuộc tính của nó. Chúng ta sẽ đi trước và tìm hiểu về khái niệm đạo hàm thông thường. Chúng ta cũng sẽ thảo luận về một vài ví dụ đã giải về tính đạo hàm có hướng. Định nghĩa Đạo hàm HướngĐối với một hàm vô hướng f (x) = f (x 1 , x 2 ,…, x n ), đạo hàm có hướng được xác định là một hàm ở dạng sau; ▽ u f = lim h → 0 [f (x + hv) -f (x)] / h Trong đó v là vectơ mà đạo hàm có hướng của f (x) được xác định. Đôi khi, v bị giới hạn trong một vectơ đơn vị , nhưng nếu không, định nghĩa cũng được giữ nguyên. Vectơ v được cho bởi; v = (v 1 , v 2 , v 3 ,…, v n ) Ngoài ra, hãy đọc:
Các thuộc tính của Đạo hàm hướngCác tính chất cơ bản liên quan đến đạo hàm có hướng được thảo luận dưới đây. Giả sử hai hàm f và g bất kỳ được xác định trong vùng lân cận của điểm ‘a’ và khả vi tại ‘a’.
Gọi k là hằng số, thì; ▽ v (kf) = k ▽ v f Tổng là phân phối. ▽ v (f + g) = ▽ v f + ▽ v g Đây còn được gọi là quy tắc của Leibniz . ▽ v (fg) = g ▽ v f + f ▽ v g Nó áp dụng khi f khả vi tại ‘a’ và g phân biệt được tại f (a). Trong trường hợp này, ▽ v (sương mù) (a) = f ′ (g (a)) ▽ v g (a) Công thứcĐạo hàm có hướng được xác định là n. ▽ f. Ở đây, n được coi là một vector đơn vị. Đạo hàm có hướng được định nghĩa là tốc độ thay đổi dọc theo đường đi của vectơ đơn vị là u = (a, b). Đạo hàm có hướng được ký hiệu là Du f (x, y) có thể được viết như sau:
Vấn đề ví dụQ.1: Tìm đạo hàm có hướng của hàm số f (x, y) = xyz theo hướng 3i – 4k. Nó có các điểm là (1, -1,1). Lời giải: Cho hàm số là f (x, y) = xyz Trường vectơ là 3i – 4k. Nó có độ lớn là √ [(3 2 ) + (- 4 2 ) = √25 = √5 Vectơ đơn vị n theo hướng 3i – 4k do đó n = 1/5 (3i – 4k) Bây giờ, chúng ta phải tìm gradient ▽ f để tìm đạo hàm có hướng. Do đó, ▽ f = yzi + xzj + xyk Bây giờ, đạo hàm có hướng là; n. ▽ f = 1/5 (3i − 4k). (yzi + xzj + xyk) = 1/5 [3 × yz + 0 – 4 × xy] Đạo hàm có hướng tại điểm (1, -1,1) là; n. ▽ f = 1/5 [3 × (−1) × (1) −4 × 1 × (−1)] n. ▽ f = ⅕ Gradient phái sinh hướngVì chúng ta biết rằng gradient được xác định cho hàm f (x, y) là; ▽ f = ▽ f (x, y) = ∂f / ∂xi + ∂f / ∂yj Điều này có thể được tính bằng cách gán toán tử vectơ r cho f (x, y) là một hàm vô hướng. Trường vectơ đó được gọi là trường vectơ gradient. Nếu ta có một hàm f (x, y, z) và u (u1, u2, u3) là vectơ đơn vị thì; D u f = ▽ fu = ∂f / ∂xu 1 + ∂f / ∂yu 2 + ∂f / ∂zu 3 Rõ ràng rằng, nếu chúng ta lấy một tích số chấm của gradient và vectơ đơn vị đã cho, thì chúng ta sẽ nhận được đạo hàm có hướng của hàm số. Ví dụ: Tìm gradient của hàm f (x, y) = x + y. Lời giải: Cho hàm số là f (x, y) = x + y ▽ f = ▽ f (x, y) = (∂f / ∂x) i + (∂f / ∂y) j ▽ f = [∂ (x + y) / ∂x] i + [∂ (x + y) / ∂y] j ▽ f = (1 + 0) i + (0 + 1) j ▽ f = i + j Do đó, gradient của hàm f (x, y) = x + y là i + j. Xem thêm:
A. Lí thuyết cơ bản1. Định nghĩa đạo hàmCho hàm số xác định trên và . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại được kí hiệu là y'(x0) hoặc f'(x0), tức là . Chú ý:
2. Đạo hàm một bên
trong đó được hiểu là và .
trong đó được hiểu là và .Nhận xét: Hàm có đạo hàm tại và đồng thời . 3. Đạo hàm trên một khoảngHàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc . Hàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc đồng thời tồn tại đạo hàm trái và đạo hàm phải . 4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm sốĐịnh lí: Nếu hàm số có đạo hàm tại thì liên tục tại . Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm nhưng hàm đó không có đạo hàm tại . Chẳng hạn: Xét hàm liên tục tại nhưng không liên tục tại điểm đó. Vì , còn. 5. Ý nghĩa của đạo hàm
Cho đường cong phẳng và một điểm cố định trên , M là điểm di động trên . Khi đó là một cát tuyến của . Định nghĩa:
Cho hàm số xác định trên khoảng và có đạo hàm tại, gọi là đồ thị hàm số đó. Định lí 1: Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của tại điểm
Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm là: b) Ý nghĩa vật lí: Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:, với là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm là đạo hàm của hàm số tại .
Cường độ tức thời: Điện lượng truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:, với là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số tại . B. Bài tậpDạng 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩaA. Phương pháp
Hàm số có đạo hàm tại điểm Hàm số có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó. B. Bài tập ví dụVí dụ 1.1: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: 1. tại 2. tại 3. tại Lời giải: 1. Ta có . 2. Ta có : . 3. Ta có, do đó: Vậy. Ví dụ 1.2: Chứng minh rằng hàm số liên tục tại nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. Lời giải: Vì hàm xác định tại nên nó liên tục tại đó. Ta có: không có đạo hàm tại . Ví dụ 1.3: Tìm để hàm số có đạo hàm tại Lời giải: Để hàm số có đạo hàm tại thì trước hết phải liên tục tại Hay . Khi đó, ta có:. Vậy là giá trị cần tìm. Dạng 2.Tiếp tuyếnBài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểmA. Phương phápPhương trình tiếp tuyến của đường cong (C): tại tiếp điểm M có dạng: Áp dụng trong các trường hợp sau: B. Bài tập ví dụVí dụ 1.1: Cho hàm số có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 1. Tại điểm ; 2. Tại điểm có hoành độ bằng 2 ; 3. Tại điểm có tung độ bằng 1 ; 4. Tại giao điểm (C) với trục tung ; Lời giải: Hàm số đã cho xác định . Ta có: 1. Phương trình tiếp tuyến tại có phương trình : Ta có: , khi đó phương trình là: 2. Thay vào đồ thị của (C) ta được . Tương tự câu 1, phương trình là: 3. Thay vào đồ thị của (C) ta được hoặc . Tương tự câu 1, phương trình là: , 4. Trục tung Oy : .Tương tự câu 1, phương trình là:
Lời giải: Tập xác định Với Phương trình tiếp tuyến tại điểm Ta có
Lời giải: Tập xác định . Có . Phương trình tiếp tuyến tại điểm : Gọi A là giao điểm của d và trục hoành , vậy Gọi B là giao điểm của d và trục tung , vậy Ta có tam giác OAB vuông tại O nên . Nhận xét:
Bài toán 2. Viết phương trình tiếp khi biết hệ số gócA. Phương phápViết PTTT Δ của , biết Δ có hệ số góc k cho trước – Gọi là tiếp điểm. Tính – Do phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k (i) – Giải (i) tìm được Lưu ý: Hệ số góc của tiếp tuyến Δ thường cho gián tiếp như sau: – Phương trình tiếp tuyến – Phương trình tiếp tuyến – Phương trình tiếp tuyến Δ tạo với trục hoành góc – Phương trình tiếp tuyến Δ tạo với góc . B. Bài tập ví dụ
Lời giải: Tập xác định . Ta có: a). Có Vì tiếp tuyến song song với d nên Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có
Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: (loại, vì trùng với d) Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: . b). Vì tiếp tuyến vuông góc với Δ nên Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có . Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là
Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là . c). Ta có tiếp tuyến hợp với d một góc 30°, nên có
Lời giải: Tập xác định . Ta có Điểm thuộc có hoành độ là Phương trình tiếp tuyến của tại M là: Để Δ song song với khi và chỉ khi: Kết luận .
Lời giải: Ta có Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy Ta có Vậy tại Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm:
Lời giải: Tập xác định . Ta có Vì tiếp tuyến (d) cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B tạo thành tam giác OAB vuông cân, nên đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 45°. Vậy có Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có Với (phương trình vô nghiệm) Với Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này . Tiếp tuyến này loại vì đường thẳng này đi qua gốc tọa độ nên không tạo thành được tam giác. Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểmA. Phương phápViết PTTT Δ của , biết Δ đi qua (kẻ từ) điểm – Gọi là tiếp điểm. Tính và theo . – Phương trình tiếp tuyến Δ tại là – Do (i) – Giải phương trình (i) và phương trình Δ. B. Bài tập ví dụVí dụ 1: Cho đường cong . Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến đi qua điểm Lời giải: Gọi là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A Vì điểm , và Phương trình d: Vì nên Với , phương trình tiếp tuyến Với , phương trình tiếp tuyến
Lời giải: Tập xác định . Ta có Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm với đồ thị hàm số nên và . Phương trình tiếp tuyến : Ta có Kết luận có hai tiếp tuyến cần tìm là và |