Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] đều cạnh \[a\]. Tính độ dài của các vectơ\[\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}\]và\[\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{BC}.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Với quy tắc ba điểm tùy ý \[A, \, \, B, \, \, C\] ta luôn có:
\[+ ]\;\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \] [quy tắc ba điểm].
\[ + ]\;\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \] [quy tắc trừ].
Lời giải chi tiết
Ta có\[\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}\] [quy tắc 3 điểm]
Suy ra \[\left | \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right | = \left | \overrightarrow{AC} \right |= a.\]
Ta có:\[\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CB}.\]
Trên tia \[CB,\] lấy điểm \[E\] sao cho \[\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CB}.\]
\[ \Rightarrow \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}= \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} \] \[= \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BE}= \overrightarrow{AE}\]
Xét tam giác \[EAC\] tacó: đường trung tuyến \[AB\] bằng nửa cạnh \[CE\] nên là tam giác vuông tại \[A\]
Áp dụng định lý Pitago ta có:
\[A{E^2} + A{C^2} = C{E^2} \]\[\LeftrightarrowAE = \sqrt {C{E^2} - A{C^2}} \]
Mà \[AC = a, \, CE = 2a,\]
Suy ra \[AE= \sqrt {4{a^2} - {a^2}} \]\[= a\sqrt 3. \]
Vậy\[\left | \overrightarrow{AB } -\overrightarrow{BC}\right | = \left | \overrightarrow{AE} \right | = a\sqrt3.\]
Cách khác:
Dựng hình bình hành ABCD ta có:
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} \\ = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow {DB} \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB\end{array}\]
+ Tính BD:
Hình bình hành ABCD có AB = BC = a nên ABCD là hình thoi.
AC BD tại O là trung điểm của AC và BD.