Bài tập và lời giải mô hình toán kinh tế Chương 1

Xét dY/dt:dq/dt = r/s, từđó suy ra kết luận sau: + Nếu đầu tư tăng nhanh hơn mức cần thiết [r>s] thìdY/dt:dQ/dt >1, do đó tác động của đầu tư tới năng lực sản xuất yếu hơn tới tổng cầu, nền kinh tế rơi vào tình trạng năng lực sản xuất không đáp ứng được nhu cầu, nghĩa là thiếu hụt năng lực sản xuất. + Nếu đầu tư tăng chậm hơn mức cần thiết [r

Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Chương 1: Mô hình toán kinh tế, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Chương 1: Mô hình toán kinh tế 1. Khái niệm về mô hình toán kinh tế 2. Cấu trúc mô hình toán kinh tế 3. Phân tích mô hình toán kinh tế 4. Áp dụng đối với một số mô hình kinh tế phổ biến [Tài liệu tham khảo: Mô hình toán kinh tế; ĐHKTQD Hà nội-Nguyễn Quang Dong] B2 1 1. Khái niệm về mô hình toán kinh tế Mô hình của một đối tượng là sự phản ánh khách quan về đối tượng đó, bằng ngôn ngữ nói, viết, hình vẽ, hoặc ngôn ngữ chuyên ngành. Mô hình của các đối tượng trong lĩnh vực kinh tế, gọi là mô hình kinh tế. Mô hình toán kinh tế, là mô hình kinh tế, được trình bày bằng ngôn ngữ toán học. 2 TD1: Nghiên cứu quá trình hình thành giá của loại hàng hóa A trên thị trường. Mô hình bằng lời: Xét thị trường hàng hóa A, nơi có người bán, người mua gặp nhau. Với mức giá p, lượng hàng người bán muốn bán gọi là lượng hàng cung S, lượng hàng người mua muốn mua gọi là lượng hàng cầu D. Khi cung lớn hơn cầu thì giá sẽ có xu hướng giảm, Khi cầu lớn hơn cung thì giá sẽ có xu hướng tăng. Quá trình tiếp diễn như vậy, cho đến khi cung băng cầu, sẽ hình thành mức giá , gọi là mức giá cân bằng. p 3 Mô hình bằng hình bằng hình vẽ Trong hệ trục tọa độ vuông góc p0q, ta vẽ đường cầu D, đường cung S, điểm hai đường cong gặp nhau là điểm cân bằng Q D S q0 o pp 4 Mô hình toán kinh tế: Với mỗi mức giá p, khối lương hàng cung là S=S[p]; khối lượng hàng cầu D=D[p]. Do người bán sẵn sàng bán giá cao hơn nên S’[p]>0, do người mua muốn mua giá thấp hơn nên D’[p]0 D=D[p] D’[p]0 D=[p,M,T] D’p= dD/dp0 thì xi và y biến thiên cùng chiều Nếu 0 β>0, Q là mức sản lượng, K là vốn, L là khối lượng lao động.  = β; = α; q = α+β q L 16 3.2. Hệ số tăng trưởng [nhịp tăng trưởng] Khi trong mô hình có biến ngoại sinh là biến thời gian t, giả sử y = f[x1,x2,..,xn,t], khi đó ta dùng hệ số tăng trưởng để đo sự thay đổi của biến nội sinh theo thời gian t. Hệ số tăng trưởng của y là , thường ry được theo theo tỷ lệ % TD: Theo công thức tính lã gộp liên tục tại thời điểm ta có: vt=v0ert có hệ số tăng trưởng rv=r Nếu lãi suất tính theo từng kỳ thì vt=v0[1+r]t có hệ số tăng trưởng rv=ln[1+r]r y y / tr y    17 Cho: u = g[t]; v = h[t] Nếu y = uv  ry = ru + rv Nếu y = u/v  ry = ru – rv Nếu y = u + v  ry = Nếu y = u - v  ry = Cho: y = f[x1[t],x2[t],..,xn[t]]  ry = u v u vr r u v u v    u v u vr r u v u v    i i n y x x i 1 r   18 3.3. Hệ số bổ sung, chuyển đổi Cho y = f[x1,x2,..,xn], nếu cho 2 biến ngoại sinh xi, xj thay đổi và cố định các biến khác sao cho y không đổi. Từ biểu thức vi phân của hàm y   Hệ số này cho biết khi gia giảm xj một đơn vị, thì phải gia giảm xi bao nhiêu đơn vị để y không thay đổi. n i i 1 i ydy dx x    i ji j y y0 dx dx x x       ji j i f / xdx dx f / x       19 Nếu dxi/dxj0 thì ta nói xi xj có thể bổ sung được cho nhau với tỷ lệ dxi/dxj, và gọi là hệ số bổ sung cận biên của xi cho xj Nếu dxi/dxj=0 thì ta nói xi, xj không thay thế được cho nhau hoặc không bổ sung được cho nhau. 20 4. Áp dụng phân tích một số mô hình 4.1. Mô hình tối ưu 4.2. Mô hình cân bằng thị trường 4.3. Mô hình kinh tế động 21 4.1. Mô hình tối ưu 4.1.1. Mô hình hàm sản xuất tối ưu về kỹ thuật 4.1.2. Mô hình hàm sản xuất tối ưu về kinh tế 4.1.3. Mô hình tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp 4.1.4. Mô hình thỏa dụng 22 4.1.1. Mô hình hàm sản xuất tối ưu về công nghệ Giả sử với công nghệ hiên có, doanh nghiệp có thể sử dụng n yếu tố đầu vào ở mức x1,x2,..,xn, và thu được Q đơn vị sản phẩm đầu ra. Ta có quan hệ hàm Q=f[x1,x2,..,xn], và gọi là hàm sản xuất của doanh nghiệp. TD1: Với số liệu Việt Nam năm 1986-1995, người ta ước lượng được hàm sản xuất: Q = 75114K0.175 L0.904 e0.0124t Q là giá trị sản xuất, K là vốn, L là lao động, t là biến thời gian 23 TD2: Với số liệu nước Áo năm 1951-1955 trong nông nghiệp người ta ước lượng được hàm sản xuất là: Q = 2.439X0.0635 K0.6172 L0.3193 Q là giá trị sản xuất, K là vốn, L là lao động, X là nguồn tài nguyên được khai thác TD3: Hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas là: Q = aKα Lβ a,α,β là các tham số, Q là sản lượng, K là vốn, L là lao động 24 Phân tích tác động của các yếu tố sản xuất tới sản lượng Q, trong mô hình Q=f[x1,x2,..xn] a] Xét quá trình sản xuất ngắn hạn. Trong tình huống doanh nghiệp chỉ có thể thay đổi một yếu tố i, còn các yếu tố khác không thay đổi, thì việc sử dụng yếu tố thứ i ở mức có lợi nhất nếu năng suất trung bình đạt cực đại, ta có mô hình: z = f[x]/xiMax Điều kiện cần để có cực đại, khi x là nghiệm của phương trình: f[x]/xi = f/xi [1] Trong nhiều trường hợp điều kiện này cũng là điều kiện đủ. 25 b] Xét quá trình sản xuất dài hạn. Giả sử doanh nghiệp có khả năng thay đổi tất cả các yếu tố đầu vào, theo cùng một tỷ lệ. Nếu f[x]>f[x] với >1, thì ta nói quy mô công nghệ sản xuất tăng có hiệu quả Nếu f[x]1, thì ta nói quy mô công nghệ sản xuất tăng không hiệu quả Nếu f[x]= f[x] với >1, thì ta nói quy mô công nghệ sản xuất tăng không thay đổi hiệu quả Để đo tính hiệu quả theo quy mô, ta dùng hệ số co giãn toàn phần của q theo các yếu tố. n Q Q xi i 1    26 TD: Xét hàm sản xuất Cobb-Douglas Q=aKαLβ Khi tăng quy mô sản xuất lên >1 lần ta có: Q[K, L]= α+βQ, do vậy kết quả sản xuất tăng α+β lần. Như vậy đối với hàm này, hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất tùy thuộc vào α+β Ta cũng có thể đo tính hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất, của mô hình này qua hệ số co giãn toàn phần. Q = QK + QL = α+β, do vậy khi tăng K,L thêm cùng một tỷ lệ 1% thì Q sẽ gia giảm [α+β]% 27 4.1.2. Mô hình hàm sản xuất tối ưu về kinh tế Giả sử Q = f[x1,x2,..xn] là hàm sản xuất của doanh nghiệp, và giá các yếu tố đầu vào là p1, p2, .., pn a] Tình huống cực tiểu chi phí: Gọi Q là mức sản lượng doanh nghiệp dự kiến sản xuất, như vậy có ràng buộc f[x] = Q. Đồng thời doanh nghiệp phải chi phí một khoản: Ta có mô hình MHIC: Min{z = } Với điều kiện: f[x] = Q 28 n i i i=1 Z p x n i i i 1 p x   b] Tình huống cực đại sản lượng: Gọi K là kinh phí dự kiến đầu tư mua các yếu tố đầu vào, với mức x yếu tố đầu vào để sản xuất được Q xản lượng. Ta có mô hinh MHID: Max{Q=f[x]} Với điều kiện: =K 29 n i i i=1 p x Phân tích mô hình MHIC Lập hàm phụ Lagrange L = + [Q-f[x]] Điều kiên cần để x là điểm cực trị  Vế trái của [2] là tỷ giá của hai yếu tố i,j; vế phải là hệ số thay thế giữa hai yếu tố này. Vậy điều kiện cần của việc sử dụng tối ưu các yếu tố vốn ở mức: “tỷ lệ thay thế bằng tỷ lệ giá của chúng”. n i i i=1 p x i L 0 x L 0      i i j j p f / x i, j [2] p f / x Q f [x] [3]         30 Gọi TC là tổng chi phí tối ưu để sản xuất được lượng sản phẩm q, vậy TC=TC[Q,p1,p2,..,pn] là hàm tổng chi phí của doanh nghiệp. Với mô hình MHIC người ta tính được: MC[Q] = *; MC[pi] = x*i [4] 31 TD: Giả sử hàm sản xuất doanh nghiệp có dạng: Q = 25K0.5L0.5; biết giá vốn pK=12, pL=3 a- Tính mức sử dụng K, L tối ưu để sản xuất được mức sản lượng Q* = 1250 b- Tính hệ số co giãn của tổng chi phí theo sản lượng tại Q* c- Nếu giá vốn và giá lao động tăng đều 10%, mức sản lượng như trước, thì mức sử dụng vốn và lao động tối ưu sẽ thay đổi như thế nào? d- Phân tích tác động của giá vốn, lao động tới tổng chi phí. Giải: Theo mô hình MHIC ta có bài toán: Min{z=12K+3L} với điều kiện 25K0.5L0.5 = 1250 32 a- Giải hệ phương trình [2][3]:  K*=25; L*=100; *=12/25 b- Hệ số co giãn của TC theo Q tại Q*=1250 là: Từ câu a-  TC[Q*] = 25*12+100*3=600  AC[Q*] = 600/1250 = 0.48 Theo [4] ta có MC[Q*] = * = 12/25  c- Vì giá của K,L tăng cùng tỷ lệ, mức sản lượng không đổi, do đó hệ [2][3] không đổi, nên K*, L* không đổi d- Vì MCpK = K* = 25>0; MCpL = L*=100>0 nên khi giá vốn và lao động tăng, thì tổng chi phí cũng tăng theo. K L K L 0.5 0.5 MQ / MQ p / p 25K L 1250    TC q MC[Q*] AC[Q*]   TC q 1  33 4.1.3. Mô hình tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp R[Q] là hàm tổng doanh thu của doanh nghiệp. C[Q] là hàm tổng chi phí  [Q]=R[Q]-C[Q] Mô hình tối đa lợi nhuận: Max{[Q] = R[Q]-C[Q]} Điều kiện cần là: MR[Q]=MC[Q] Khi sản phẩm của doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo thì p là biến ngoại sinh, nên ta có R[Q]=pQ  MR[Q]=MC[Q]=p; MR[p]=Q [5] Hàm p=MC[Q] thể hiện mức cung của doanh nghiệp và giá bán trên thị trường. 34 Khi sản phẩm độc quyền, doanh nghiệp toàn quyền quy định giá bán, do đó mức cung tối đa hóa lợi nhuận và mức cầu thị trường, bằng mức cung của doanh nghiệp. Suy ra giá bán sản phẩm phụ thuộc vào mức cung của doanh nghiệp. p=p[Q]  Q=Q[p] Khi đó Q=Q[p] gọi là hàm cầu xuôi p=p[Q] gọi là hàm cầu ngược Với doanh nghiệp độc quyền, hàm cầu thường được viết dạng hàm cầu ngược. Nên ta có: R=p[Q]Q  MR[Q]=p[Q]+QMp[Q] Do vậy điều kiện cần để có lợi nhuận cực đại là: p[Q]+QMp[Q] = MC[Q] [6] 35 TD: Một doanh nghiệp có hàm doanh thu TR = 58Q-0.5Q2 Hàm tổng chi phí TC = 1/3Q3 - 8.5Q2 + 97Q + FC trong đó Q là sản lượng, FC là chi phí cố định a] Với FC=4 hãy xác định mức sản lượng tối đa lợi nhuận b] Phân tích tác động của chi phí cố định tới mức sản lượng tối đa lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa Giải: a] Điều kiện cần để có max là: 58-Q=Q2-17Q+97  Q=3, Q=13; Kiểm tra điều kiện đủ của tối ưu ta có Q*=13 b] d/dFC = -10; d/dp=Q*>0  kết luận 39 Bài tập 2: Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngược p = 490-2Q, và hàm tổng chi phí TC=0.5Q2AD0.5 trong đó q là sản lượng, AD là phí quảng cáo a- Với AD=9, hãy xác định mức sản lượng và giá bán tối ưu b- Phân tích tác động của chi phí quảng cáo AD tới mức sản lượng, và giá bán tối ưu HD: a- Q*=70, p*=350 b- Tính dQ/dAD0 suy ra KL 40 Bài tập 3: Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm sản xuất Q= K0.5+K0.5, với pK=6, pL=4, p=2 a- Hãy xác định mức sử dụng vốn, lao động tối ưu b- Phân tích tác động của giá vốn, giá lao động tới mức lợi nhuận tối đa HD: a- K*=1/36; L*=1/16 b- d/dpK=-1/360 D = D[p,α,β]; D/p0 D = α – βp; α,β>0 Ý nghĩa của các hệ số a,b,α,β: Cho S=0 [không có cung]  p=a/b, vậy a/b là mức giá tối thiểu mà người sản xuất có thể chấp nhận. Cho D=0 [không có cầu]  p=α/β, vậy α/β là mức giá tối đa người tiêu dùng chấp nhận Giá cân bằng: ,lượng hàng cân bằng: 47 ap b     b aq b     Bài tập 4: Hàm cầu của một loại hàng D=1.5M0.3p-0.2 và hàm cung S = 1.4p0.3, M là thu nhập, p là giá a- Tính hệ số co giãn của hàm cầu theo p, theo M b- Xem xét tác động của thu nhập M tới giá p HD: a- Hàm cầu có dạng Cobb-Douglas suy ra Dp=-0.2; DM=0.3 b- Tính p/M>0 [theo công thức đạo hàm của hàm ẩn từ phương trình S = D]. Suy ra thu nhập tăng thì giá cân bằng tăng và ngược lại. 48 4.2.2. Mô cân bằng vĩ mô Tổng cung: Xét thị trường hàng hóa dịch vụ, nên tổng cung của nền kinh tế được coi là ngoại sinh và ký hiệu là Y, được đo bằng tổng sản phẩm quốc nội [GDP] hoặc tổng thu nhập quốc dân [GNP] Tổng cầu bao gồm: C- Nhu cầu tiêu dùng của dân cư I- Nhu cầu đầu tư của dân cư G- Nhu cầu tiêu dùng của chính phủ EX- Nhu cầu cho xuất khẩu Phương trình hành vi mô tả quan hệ giữa các biến: 49 +Tiêu dùng dân cư C=C0+β[Y-T]; trong đó T là thuế, Y-T là thu nhập khả dụng, 00; 00; 0