TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ BÀI TẬP ỨNG DỤNG
A. Lý thuyết
I. Góc giữa hai vector
1. Định nghĩa
Cho hai vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ [khác $\overrightarrow{0}$]. Từ điểm O bất kì vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$
Góc $\overset{\wedge }{\mathop{AOB}}\,$ với số đo từ ${{0}^{\circ }}$ đến ${{180}^{\circ }}$ gọi là góc giữa hai vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$
Kí hiệu: [$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$] hay [$\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}$]
Đặc biệt: Nếu [$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$]=90$^{0}$ thì ta nói $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}$ hay$\overrightarrow{b}\bot \overrightarrow{a}$
Nếu [$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$]=0$^{0}$ thì $\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow \overrightarrow{b}$
Nếu [$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$]=180$^{0}$ thì $\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{b}$
II. Định nghĩa tích vô hướng
Cho hai vector $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$. Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$là một số kí hiệu: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$và được xác ddiinhj bởi công thức:
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|.Cos[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]$
Chú ý:
* $\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$
* $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{\overrightarrow{a}}^{2}}$
* ${{\overrightarrow{a}}^{2}}$gọi là bình phương vô hướng của vector $\overrightarrow{a}$
* $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$âm hay dương phụ thuộc vào $Cos[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]$
II. Các tính chất của tích vô hướng:
Cho ba vector $\overrightarrow{a},\,\overrightarrow{b},\,\overrightarrow{c}$bất kì, với mọi số k ta có:
- $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$
- $\overrightarrow{a}.[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}]=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$
- $[k.\overrightarrow{a}].\overrightarrow{b}=k.[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}]=\overrightarrow{a}.[k.\overrightarrow{b}]$
- ${{\overrightarrow{a}}^{2}}\ge 0,\,{{\overrightarrow{a}}^{2}}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$
Nhận xét
III. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 vector \[\overrightarrow{a\,}\,=\left[ {{a}_{1}};{{a}_{2}} \right]\,\,\,;\,\overrightarrow{b\,}=\left[ {{b}_{1}};{{b}_{2}} \right]\,\,\,\,\,\,\overrightarrow{a\,}.\overrightarrow{b\,}={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}\]
Một số công thức cần nhớ :
B. Bài tập minh họa
Dạng 1: Tính tích vô hướng cảu hai vector
Phương pháp:
- Tính
- Áp dụng công thức \[\overrightarrow{a\,},\overrightarrow{b\,}=\left| \overrightarrow{a\,} \right|\left| \overrightarrow{b\,} \right|\cos \left[ \overrightarrow{a\,};\overrightarrow{b\,} \right]\]
| Câu 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB =AC = a . Tính \[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\,\,\,;\,\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}\] |
Giải:
\[AB\bot AC=>\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\,\,\,\,\,\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=CA.CB\cos {{45}^{0}}\,\,-{{a}^{2}}\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}}=-{{a}^{2}}\]
Dạng 2: Chứng minh một đẳng thức vec tơ có lien quan đến tích vô hướng hay đẳng thức các độ dài
Phương pháp:
- Sử dụng các phép toán về vec tơ và các tính chất của tích vô hướng
- Về độ dài ta chú ý :AB2 =\[{{\overrightarrow{AB}}^{2}}\]
| Câu 2: Cho tam giác ABC . và M là một điểm bất kỳ . 1.Chứng minh rằng \[\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC.}\overrightarrow{AB}=0\] 2.Gọi G là trọng tâm tam giác chứng minh \[M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=3M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}\] 3.Suy ra \[G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}=\frac{1}{3}\left[ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right]\,\,\,\] với a ; b ;c là độ dài 3 cạnh của tam giác |
Giải:
Dạng 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A[x1;y1] B[x2;y2] và C[x3;y3] .Xác định hình dạng của tam giác ABC.
Phương pháp:
- Tính \[AB=\sqrt{{{\left[ {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right]}^{2}}+{{\left[ {{y}_{2}}-{{y}_{1}} \right]}^{2}}}\,\,\,BC=\sqrt{{{\left[ {{x}_{3}}-{{x}_{2}} \right]}^{2}}+{{\left[ {{y}_{3}}-{{y}_{2}} \right]}^{2}}}\,\,\,\,\,\,CA=\sqrt{{{\left[ {{x}_{1}}-{{x}_{3}} \right]}^{2}}+{{\left[ {{y}_{1}}-{{y}_{3}} \right]}^{2}}}\]
- Nếu AB = BC = CA =>Tam giác ABC đều
- Nếu AB = AC =>Tam giác ABC cân
- Nếu AB = AC và BC = ABÖ2 => Tam giác ABC vuông cân tại B
- Nếu BC2=AB2 +AC2 =>tam giác ABC vuông tại A
| Câu 3: Trong mpOxy cho A[4;0] \[B\left[ 2;2\sqrt{3} \right]\] Chứng minh tam giac OAB đều . .Tìm trực tâm của tam giác OAB |
Giải:
\[=>\Delta OAB\,\]đều
Trực tâm H của tam giác OAB cũng là trọng tâm của tam giác\[\text{ OAB }=>\text{ H}\left[ \text{2;}\frac{\text{2}\sqrt{\text{3}}}{3} \right]\]
Dạng 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A[x1;y1] B[x2;y2] và C[x3;y3] .Xác định trọng tâm G , trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Phương pháp:
- Trọng tâm G \[\left[ \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{3};\frac{{{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}}}{3} \right]\]
- Tìm trọng tâm H
- Gọi $H\left[ x;y \right]$ là trực tiếp tâm của tam giác ABC
- Tính , \[\overrightarrow{AH}=\left[ x-{{x}_{1}};y-{{y}_{1}} \right]\,\]Tính \[\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}\,\]Tính \[\,BH=[x-{{x}_{2}};y-{{y}_{2}}]\]\[;\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}\]
Do H là trực tâm
- Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
- Gọi I[x;y]. Tính AI2=[x-x1]2+[y–y1]2 BI2=[x-x2]2+[y–y2]2 CI2=[x-x3]2+[y–y3]2
- I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC óAI = BI =CI
- Giải hệ trên tìm x,y
| Câu 4: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A[5 ;4] B[2 ;7] và C[–2 ;–1] . a.Tìm trọng tâm G , trực tâm H và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b.Chứng minh I ; G ;H thẳng hang. |
Giải:
a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \[=>\text{G}\left[ \frac{\text{5}+\text{2-2}}{\text{3}};\frac{4+7-1}{3} \right]=G\left[ \frac{5}{3};\frac{10}{3} \right]\]
Gọi \[H[x;y\,]\]là trực tâm tam giác ABC
H là trực tâm tâm tam giác
Gọi $I[x;y]$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
b. \[\overrightarrow{IG}=\left[ 1;\frac{2}{3} \right]\,\,\,\,\overrightarrow{IH}=\left[ 3;2 \right]=3\left[ 1;\frac{2}{3} \right]=3\overrightarrow{IG}=>I;G;H\]thẳng hàng
Dạng 5: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A[x1;y1] B[x2;y2] và C[x3;y3] .Xác định tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Phương pháp:
- Tính AB ;AC; k =-AB/AC
- Gọi D là giao điểm đường phân giác trong của góc A với cạnh BC\[=>\overrightarrow{DB}=k\overrightarrow{DC}=>\,\]tọa độ của D
- Tính BA và BD =k’= –BA/BD
- Gọi J là giao điểm của 2 đường phân giác trong của góc A và góc B =>\[\overrightarrow{JA}=k'\overrightarrow{JD}\,\,\,\]=>tọa độ của J
| Câu 5: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A[–2;3] B\[\left[ \frac{1}{4};0 \right]\] và C[2;0] Tìm tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC. |
Giải:
\[AB=\frac{15}{4};AC=5=>k=-\frac{AB}{AC}=-\frac{3}{4}\]
Gọi D là giao điểm phân giác trong của góc A và BC \[=>\overrightarrow{\text{DB}}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{DC}\]
\[BA=\frac{15}{4};BD=\frac{3}{4}=>k'=-5\]
Gọi J là giao điểm phân giác trong của góc B và AD $\Rightarrow JA=-5JD$
Dạng 6: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A[x1;y1] B[x2;y2] và C[x3;y3].Gọi A’ là chân đường vuông góc kẻ từ A lên BC.Tìm A’
Phương pháp: Gọi A’[x;y]
- Tính \[\overrightarrow{AA'}=[x-{{x}_{1}};y-{{y}_{1}}]\,\,\,\,;\overrightarrow{BC}=[{{x}_{3}}-{{x}_{2}};{{y}_{3}}-{{y}_{2}}]\,\,\,\,\overrightarrow{BA'}=[x-{{x}_{2}};y-{{y}_{2}}]\]
Giải hệ:
- Tìm x, y theo t, thay vào [1] tìm t từ đó suy ra x và y
| Câu 6: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A[1 ; 5] B[3;–1] C[6;0].Tìm chân đường cao B’ kẻ từ B lên CA. |
Giải:
Dạng 7: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A[x1;y1] B[x2;y2] và C[x3;y3],Tính cosA
Phương pháp:
- Tính \[\overrightarrow{\text{AB}\,}\text{; }\,\overrightarrow{\text{AC}}\]
- Tính AB và AC
- Tính \[\overrightarrow{AB.}\overrightarrow{AC}\]
- \[CosA=\frac{\overrightarrow{AB.}\overrightarrow{AC}}{AB.AC}\]
| Câu 7: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A[0;3] B[2;2] và C[–6;1].Tínhsố đo của góc A. |
Giải:
C. Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh huyền BC = aÖ3 .Gọi M là trung điểm của BC biết \[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BC}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\,\,\,.\]Tính AB và AC
Câu 2: Cho tam giác ABC với A[1;0] B[–2;–1] và C[0;3].Xác định hình dạng của tam giác ABC .Tìm Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A[0;2] B[m ; 0] và C[m+3; 1] .Định m để tam giác ABC vuông tại A.
Câu 4: Cho 2 điểm A [2 ; –1] và B[–2;1] Tìm điểm M biết tung độ là 2 và tam giác ABM vuông tại C .
Câu 5: Trong mpOxy cho 2 điểm A[2;4] và B[1 ; 1] . Tìm điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B.
Câu 6: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A[–1;–3] B[2;5] và C[4;0].Xác định trực tâm H của tam giác ABC.
Câu 7: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A[–1;4] B[–4;0] C[2;–2] . Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu 8: Trong mpOxy cho tam giác ABC với A[0;1] B[3;2] và C[1;5] .Tìm trực tâm H của tam giác ABC .
Câu 9: Trong mpOxy cho tam giác ABC với\[A\left[ \frac{-15}{2};2 \right]\,\,\,B[12;15]\,\,\,C[0;-3]\]Tìm tâm J của đương tròn nội tiếp tam giác ABC .
Câu 10: Trong mpOxy cho tam giác BAC với A[3;–4] B[–4;–2] và C[1;3] .Tìm chân đường cao A’ của đường cao kẻ từ A lên BC.
Đáp số:
Câu 1: \[\text{AB}=\text{a}\sqrt{\text{2}}\,\,\,\,\,AC=a\]
Câu 2: Vuông tại A , Tâm I [–1;1]
Câu 3: m = –1 hay m =-2
Câu 4: M[1;2] và M[–1;2]
Câu 5: C[4;0] và C[–2;2]
Câu 6:\[H\left[ \frac{164}{31};-\frac{15}{31} \right]\]
Câu 7: \[I\left[ \frac{-1}{2};\frac{1}{2} \right]\]
Câu 8: \[H\left[ \frac{21}{11};\frac{25}{11} \right]\]
Câu 9: J[-1;2]
Câu 10: A’\[\left[ -\frac{37}{53};-\frac{156}{53} \right]\]