Cho là hàm số liên tục trên khả vi trên chứng minh rằng tồn tại sao cho

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây [382.37 KB, 58 trang ]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNCAO THỊ THẮMỨNG DỤNG TÍNH LIÊN TỤC VÀ TÍNHKHẢ VI CỦA HÀM SỐ TRONGPHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT ĐẲNG THỨCLUẬN VĂN THẠC SỸChuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤPMã số: 60 46 01 13Giáo viên hướng dẫn:TS. NGUYỄN VĂN NGỌCTHÁI NGUYÊN, 2015Mục lụcMở đầu 11 Hàm số liên tục và ứng dụng 31.1 Tính liên tục của hàm số. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 31.1.1 Các khái niệm cơ bản. .. .. .. .. .. .. .. .. 31.1.2 Các tính chất cơ bản. .. .. .. .. .. .. .. .. 41.2 Một số tính chất của liên tục. .. .. .. .. .. .. .. .. 41.3 Nghiệm của các phương trình. .. .. .. .. .. .. .. .. 101.4 Điểm bất động của hàm số. .. .. .. .. .. .. .. .. . 141.5 Phương trình hàm. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 192 Hàm khả vi và ứng dụng 272.1 Đạo hàm và vi phân của hàm số. .. .. .. .. .. .. .. 272.1.1 Đạo hàm tại một điểm. .. .. .. .. .. .. .. . 272.1.2 Đạo hàm một phía. .. .. .. .. .. .. .. .. . 272.1.3 Một số tính chất cơ bản. .. .. .. .. .. .. .. . 282.1.4 Định nghĩa vi phân tại một điểm. .. .. .. .. .. 282.1.5 Đạo hàm và vi phân cấp cao. .. .. .. .. .. .. 292.2 Các định lí về giá trị trung bình. .. .. .. .. .. .. .. 30

2.2.1 Định lí Fermat. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 30

2.2.2 Định lí Rolle. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 302.2.3 Định lí Lagrange và Định lí Cauchy. .. .. .. .. 322.3 Các bài toán về phương trình và bất đẳng thức của các hàmkhả vi. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 342.3.1 Phương trình. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 342.3.2 Bất đẳng thức. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 372.4 Một số bất đẳng thức đạo hàm quan trọng. .. .. .. .. 482.4.1 Công thức Taylor trên một khoảng. .. .. .. .. . 48ii2.4.2 Các bất đẳng thức đạo hàm quan trọng. .. .. .. 48Kết luận 54Tài liệu tham khảo 55iiiMở đầuCùng với khái niệm giới hạn, tính liên tục và tính khả vi của hàm sốlà những những kiến thức cơ sở quan trọng của giải tích toán học. Trongchương trình toán học ở bậc phổ thông, tính chất của hàm số liên tục trênmột đoạn được áp dụng nhiều, phong phú và đa dạng trong các bài toánkhác nhau, nhất là các bài toán về sự tồn tại nghiệm của các phương trình.Định lý Rolle, Định lý Lagrange, tính đơn điệu của hàm số cũng thườngđược sử dụng trong các đề thi có tính nâng cao, như thi học sinh giỏi cấpquốc gia hay quốc tế trong nhiều bài toán khác nhau, đặc biệt là chứngminh các bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, v.v Hiện nay đã có khá nhiều tư liệu [sách giáo khoa, sách tham khảo, khóaluận, luận văn, chuyên đề Hội thảo, v.v ] bằng tiếng Việt về ứng dụng tínhliên tục và tính khả vi của hàm số trong khảo sát hàm số, chứng minhbất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình,v.v Nhận xét rằng,ngoài phương trình hàm, nhìn chung các vấn đề trên đây đa phần là đốivới những hàm số sơ cấp cụ thể, nên chưa có tính khái quát.

Với suy nghĩ và ý tưởng đó, mục tiêu của luận văn này nhằm khai thác

tính liên tục và tính khả vi của hàm một biến trong phương trình và bấtđẳng thức không đối với các hàm số cụ thể mà là bất kỳ.Về tính liên tục, luận văn trình bày một số vấn đề có tính lý thuyết củahàm liên tục, như tính trù mật [giá trị trung gian], tính bị chặn, tính lồi,v.v Về phương trình, trong luận văn này đã xét bài toán về điểm bất độngđối với các hàm liên tục trên một đoạn hữu hạn [compact], phương trìnhhàm, phương trình vi phân, v.v Về bất đẳng thức, ngoài một số bất đẳng thức đối với các hàm cụ thể,luận văn chủ yếu quan tâm đến bất đẳng thức hàm, bất đẳng thức đạohàm tổng quát. Đặc biệt, luận văn còn trình bày một số bất đẳng thức đạohàm nổi tiếng như bất đẳng thức Landau, bất đẳng thức Kolmogorow, bất1đẳng thức Landau-Kolmogorow và bất đẳng thức Steklov đối với các hàmkhả vi một biến. Đây là những bất đẳng thức của Toán học cao cấp chưađược trình bày trong các tài liệu bằng Tiếng Việt ở cấp độ Toán sơ cấp.Kết cấu của Luận văn gồm có: Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kếtluận và Tài liệu tham khảo.Chương 1: Hàm số liên tục và ứng dụng, trình bày khái quát về hàm sốliên tục, một số tính chất chuyên sâu của hàm số liên tục, điểm bất độngcủa các hàm liên tục và các phương trình hàm.Chương 2: Hàm khả vi và ứng dụng. Nội dung chương trình bày mộtsố kiến thức cơ sở về đạo hàm vi phân, các định lí về giá trị trung bình.Từ các kiến thức nền tảng đó, nội dung quan trọng của chương là xét cácphương trình, đẳng thức và bất đẳng thức đối với các hàm khả vi tổngquát.Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình củaTS. Nguyễn Văn Ngọc- Trường Đại học Thăng Long. Từ đáy lòng mình,em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên,

và chỉ bảo hướng dẫn của Thầy. Em xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu

và các thầy, cô trong trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên,đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khóa học cao học tạiTrường. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán lớpN- Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên.2Chương 1Hàm số liên tục và ứng dụngChương này trình bày ngắn gọn các khái niệm và tính chất của hàmliên tục một biến và một số bài toán liên quan. Các kiến thức của chươngnày được hình thành chủ yếu được từ các tài liệu [1] và [6].1.1 Tính liên tục của hàm số1.1.1 Các khái niệm cơ bảnĐịnh nghĩa 1.1. Giả sử I ⊂ R là một khoảng hoặc hệ khoảng của trụcthực và f là hàm nhận giá trị thực trong miền I. Cố định điểm x0∈ R [bao hàm cả trường hợp x0∈ I]. Ta nói f có giới hạn l ∈ R tại x0và viếtlimx→x0f[x] = lnếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0, δ = δ[ε] sao cho nếux ∈ I, x = x0, |x −x

0

| < δ thì |f[x] −l| < ε.Định nghĩa 1.2. Cho hàm số f xác định trong tập X và số a ∈ X. Hàmf được gọi là liên tục tại a nếu limx→af[x] = f[a] hay ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈X, |x −a| < δ thì |f[x] − f[a]| < ε.Định nghĩa 1.3. Hàm f được gọi là liên tục phải tại a nếulimx→a+f[x] = f[a].Hàm f được gọi là liên tục trái tại a nếulimx→a−f[x] = f[a].3Nếu các hệ thức trên đây không tồn tại thì ta nói hàm f[x] tại x0có giánđoạn tương ứng phải, trái.Nhận xét 1.1. Hàm f liên tục tại a khi và chỉ khilimx→a+f[x] = limx→a−f[x] = lim

x→a

f[x] = f[a].Định nghĩa 1.4. Một hàm không liên tục tại a được gọi là hàm gián đoạntại a.Định nghĩa 1.5. Hàm f liên tục tại mọi điểm x ∈ [a; b] ta nói f liên tụctrên khoảng [a; b].Định nghĩa 1.6. Hàm số f liên tục trên khoảng [a; b] và liên tục phải tạia, liên tục trái tại b ta nói rằng f liên tục trên [a; b].1.1.2 Các tính chất cơ bản+ Tổng, hiệu, tích thương [với điều kiện mẫu khác 0 ] của các hàm liêntục tại a là hàm liên tục tại a.+ Nếu hàm f liên tục tại a và hàm g liên tục tại f[a] thì hàm hợp g ◦fliên tục tại a.+ Nếu f liên tục tại a và f[a] > L thì f[x] > L ở lân cận của a hay∃δ > 0 sao cho f[a] > L với mọi x mà |x − a| < δ.1.2 Một số tính chất của liên tụcĐịnh lý 1.1. [Tính trù mật của hàm liên tục]. Nếu hàm f[x] liên tụctrên đoạn [a; b] và f[a]f[b] < 0 thì tồn tại c ∈ [a; b] sao cho f[c] = 0.Chứng minh. Để chứng minh định lí ta thực hiện phương pháp chia đôiđoạn [a; b].Nếu trong quá trình thực hiện ta tìm được điểm c ∈ [a; b] sao cho f[c] = 0thì định lí được chứng minh.Nếu không tìm được c thì quá trình trên giúp ta xây dựng được các dãyđoạn lồng nhau [an; bn] trong đóf[an] < 0, f[b n] > 0 và cn= bn− an=b −a2n.4Ta cólimn→∞f[an] = f[ limn→∞an] = f[c] ≤ 0.Tương tựlimn→∞f[bn] = f[ lim

n→∞

bn] = f[c] ≥ 0,trong đó c ∈ [a; b]. Vậy tồn tại c ∈ [a; b] sao cho f[c] = 0.Định lý 1.2. [ Định lý về giá trị trung gian của hàm liên tục]. Nếu f[x]liên tục trên [a; b], thì f[x] nhận giá trị trung gian giữa f[a] và f[b]. Tứclà, với mọi γ nằm giữa f[a] và f[b] luôn tồn tại giá trị c ∈ [a; b] sao chof[c] = γ.Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử f[a] < f[b].Ta thấy định lý dễ dàng được chứng minh khi γ = f[a] hoặc γ = f[b].Xét γ với f[a] < γ < f[b] ta đi chứng minh tồn tại giá trị c ∈ [a; b] saocho f[c] = γ.Thật vậy, xét hàm g[x] = f[x] − γ là một hàm liên tục trên [a; b].Ta lại có g[a] < 0, g[b] > 0 theo Định lý 1.1 luôn tồn tai giá trị γ ∈ [a; b]để g[c] = 0.Điều đó cho thấy luôn tồn tại giá trị c ∈ [a; b] sao cho f[c] = γ. Định lýđược chứng minh.Định lý 1.3. Nếu hàm số f[x] liên tục trên [a; b] thì hàm số đạt được giátrị nhỏ nhất và lớn nhất trên [a; b]. Tức là tồn tại xm, xM∈ [a; b] sao chovới mọi x ∈ [a; b] ta luôn có f[xm] ≤ f[x] ≤ f[xM].Chứng minh. Trước hết, ta đi chứng minh f[x] bị chặn trên [a; b]. Giả sử

f[x] không bị chặn trên [a; b], tức là với mọi n ∈ N tồn tại x

n∈ [a; b] saocho |f[xn]| ≥ n.Dãy [xn] bị chặn nên theo định lí Balzano-Weierstrass tồn tại một dãy concủa nó xnk→ x0∈ [a; b] mà f[xnk] ≤ nk. Chuyển qua giới hạn này ta có|f[x0]| = +∞ mâu thuẫn vì f[x] liên tục tại x0. Vậy f[x] bị chặn.Gọi m = inf[a;b]f[x], M = sup[a;b]f[x]. Lấy  =

1

n, n ∈ N∗, ∃xn∈ [a; b], saocho1n> f[xn] −m ≥ 0.Theo định lí Balzano-Weierstrass tồn tại một dãy con của nó xnkcủa [xn]5thỏa mãn xnk→ xmvà1nk> f[x

n

k] −m ≤ 0. Lấy giới hạn ta đượclimx→∞f[xnk] = f[xm] = m.Tương tự tồn tại xMđể f[xM] = sup[a;b]f[x] = M.Hệ quả 1.1. Nếu f : [a; b] −→ R liên tục thì f[[a; b]] = [m; M] ⊂ Rtrong đó m = inf[a;b]f[x], M = sup[a;b]f[x].Bài toán 1.1. [ Hàm Dirichlet]. Xét tính liên tục của hàm sốD[x] =1, nếu x là số hữu tỷ,0, nếu x là số vô tỷ.Lời giải. Vì trong bất kỳ lân cận nào của điểm hữu tỷ tìm được các điểm

vô tỷ và ngược lại, nên với điểm x

obất kỳ trong khoảng [−∞; +∞] khôngtồn tại giới hạn limx→xoD[x].Như vậy, tại mỗi một điểm của trục thực tồn tại sự gián đoạn loại hai [từhai phía].Bài toán 1.2. [ Hàm Riemann]. Trên đoạn [0; 1] xét hàm sốf[x] =1q, nếu x =pqlà phân số tối giản,0, nếu x là số vô tỷ.Chứng minh rằng tại mỗi điểm hữu tỷ hàm số có gián đoạn loại một, còntại mỗi điểm vô tỷ hàm số là liên tục.Lời giải. Giả sử x0là một điểm tùy ý của đoạn [0; 1]. Với số ε > 0 chỉ tồntại một số hữu hạn các số tự nhiên q 1ε, nghĩa là trong đoạn [0, 1] chỉ

có một số hữu hạn các số hữu tỷ

pq, mà fpq=1q≥ ε. Điểm x0có thểđược bao bởi lân cận [x0−δ; x0+ δ], sao cho trong đó không có điểm nàođã nói ở trên [ngoại trừ có thể là điểm x0].Khi đó với |x−x0| < δ; [x = x0] dù x là hữu tỷ hay vô tỷ, ta có |f[x]| < ε.Nghĩa là, với mọi x0tồn tại

f[x

0+ 0] = f[x0− 0] = 0.6Nếu x0là số vô tỷ, thì f[x] = 0, nghĩa là tại điểm này hàm số là liên tục,nếu x0là số hữu tỷ, thì f[x0] = 0, do đó có gián đoạn thông thường từhai phía.Bài toán 1.3. Chứng minh rằng, nếu f[x] là hàm liên tục, thìF [x] = |f[x]|cũng là hàm liên tục.Lời giải. Giả sử ε > 0 tùy ý. Khi đó tồn tại δ = δ[ε, xo], sao cho|f[x] − f[xo]| < ε, khi |x − xo| < δ.Sử dụng bất đẳng thức ||A| − |B|| ≤ |A −B|, ta có|F [x] − F [xo]| = ||f[x]| −|f[x

o

]|| ≤ |f[x] −f[xo]| < εnếu |x − xo| < δ, nghĩa là F [x] cũng là hàm liên tục.Bài toán 1.4. Chứng minh rằng, nếu hàm f[x] liên tục trên đoạn [a; b]thì hàmm[x] = infa≤ξ≤x|f[ξ]|, M[x] = maxa≤ξ≤x|f[ξ]|cũng là những hàm liên tục trên [a; b].Lời giải. Vì f[x] liên tục trên đoạn [a; b], nên ∀ε > 0, xo∈ [a; b], tồn tạiδ = δ[ε, xo], sao cho khi |h| < δ, thì|f[xo+ h] −f[x]| < ε.Khi đó rõ ràng làsup

|h|