Đề bài
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là một tứ giác lồi. Gọi \[O\] là giao điểm của hai đường chéo \[AC\] và \[BD\]. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng \[[α]\] đi qua \[O\], song song với \[AB\] và \[SC\]. Thiết diện đó là hình gì?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng nội dung của định lí 2:
Cho đường thẳng \[a\] song song với mặt phẳng \[\alpha\]. Nếu mặt phẳng \[\beta\] chứa \[a\] và cắt\[\alpha\] theo giao tuyến \[b\] thì \[b\] song song với \[a.\]
Lời giải chi tiết
+] \[[α] // AB, AB [ABCD]\], \[O\] là điểm chung của \[[α]\] và \[[ABCD]\]
\[\Rightarrow\] Giao tuyến của hai mặt phẳng \[[ α]\] và \[[ABCD]\] là đường thẳng qua \[O\] và song song với \[AB\].
Trong \[[ABCD]\] qua \[O\] kẻ \[MN // AB\] \[[M \in BC, N \in AD]\]
\[ \Rightarrow \left[ \alpha \right] \cap \left[ {ABCD} \right] = MN\]
+] \[[α] // SC, SC [SBC]\], \[M\] là điểm chung của \[[α]\] và \[[SBC]\]
\[\Rightarrow\] Giao tuyến của hai mặt phẳng \[[ α]\] và \[[SBC]\] là đường thẳng qua \[M\] và song song với \[SC\].
Trong \[[SBC]\] qua \[M\] kẻ \[MQ // SC\] \[[Q \in SB]\]
\[ \Rightarrow \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SBC} \right] = MQ\]
+] \[[α] // AB, AB [SAB]\], \[Q\] là điểm chung của \[[α]\] và \[[SAB]\]
\[\Rightarrow\] Giao tuyến của hai mặt phẳng \[[ α]\] và \[[SAB]\] là đường thẳng qua \[Q\] và song song với \[AB\].
Trong \[[SAB]\] qua \[Q\] kẻ \[QP // AB\] \[[P \in SA]\]
\[ \Rightarrow \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAB} \right] = QP\]
+] \[ \Rightarrow \left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAD} \right] = NP\]
Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \[[\alpha]\] là tứ giác \[MNPQ\] có \[MN//PQ//AB\]
Vậy thiết diện là hình thang \[MNPQ\].