Đề bài
Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung \[AC, CD, DB\] sao cho
\[sđ\overparen{AC}=sđ\overparen{CD}=sđ\overparen{DB}=60^0\]. Hai đường thẳng \[AC\] và \[BD\] cắt nhau tại \[E\]. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại \[B\] và \[C\] cắt nhau tại \[T\]. Chứng minh rằng:
a] \[\widehat {AEB}=\widehat {BTC}\];
b] \[CD\] là phân giác của \[\widehat{BCT}.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.
+] Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
+] Số đo góc nội tếp bằng nửa số đo cung bị chắn
Lời giải chi tiết
a] Xét đường tròn \[[O]\] có\[sđ\overparen{AC}=sđ\overparen{CD}=sđ\overparen{DB}=60^0\] nên\[sđ\overparen{AB}=sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{CD}+sđ\overparen{DB}\]\[=60^0+60^0+60^0=180^0.\]
Ta có\[\widehat{AEB}\]là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn cung \[CD\] và \[AB\] nên:
\[\displaystyle\widehat{AEB}=\dfrac{sđ\overparen{AB}- sđ\overparen{CD}}{2}={{{{180}^0 - {{60}^0}}} \over 2} = {60^0}.\]
và\[\widehat{BTC}\]cũng là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn cung \[BC\] lớn và \[BC\] nhỏ [hai cạnh đều là tiếp tuyến của đường tròn] nên:
\[\widehat{BTC}=\dfrac{sđ\overparen {BAC}-sđ\overparen{BDC}}{2}\]\[\displaystyle= {{[{{180}^0} + {{60}^0}] - [{{60}^0} + {{60}^0}]} \over 2} = {60^0}.\]
Vậy\[\widehat {AEB} =\widehat {BTC}=60^0.\]
b]Xét đường tròn \[[O]\] có:
\[\widehat {DCT} \] là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung \[CD\] nên:
\[\widehat {DCT}=\dfrac{sđ\overparen{CD}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0.\]
\[\widehat {DCB}\]là góc nội tiếp chắn cung \[BD\] nên: \[\displaystyle \widehat {DCB}=\dfrac{sđ\overparen{DB}}{2}={{{{60}^0}} \over 2} = {30^0}.\]
Vậy \[\widehat {DCT}=\widehat {DCB}=30^0\] hay \[CD\] là phân giác của\[\widehat {BCT}. \]
loigiaihay.com