Đề bài
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
\[\begin{array}{l}
a]\,\,y = \left[ {9 - 2x} \right]\left[ {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right]\\
b]\,\,y = \left[ {6\sqrt x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right]\left[ {7x - 3} \right]\\
c]\,\,y = \left[ {x - 2} \right]\sqrt {{x^2} + 1} \\
d]\,y = {\tan ^2}x - {\cot}{x^2}\\
e]\,\,y = \cos \dfrac{x}{{1 + x}}
\end{array}\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của tích, thương, quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp và bảng đạo hàm cơ bản.
Lời giải chi tiết
\[\begin{array}{l}
a]\,\,y = \left[ {9 - 2x} \right]\left[ {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right]\\y' = \left[ {9 - 2x} \right]'\left[ {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right] \\+ \left[ {9 - 2x} \right]\left[ {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right]'\\
= - 2\left[ {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right] + \left[ {9 - 2x} \right]\left[ {6{x^2} - 18x} \right]\\
= - 4{x^3} + 18{x^2} - 2 + 54{x^2} - 162x - 12{x^3} + 36{x^2}\\
= - 16{x^3} + 108{x^2} - 162x - 2\\
b]\,\,y = \left[ {6\sqrt x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right]\left[ {7x - 3} \right]\\y' = \left[ {6\sqrt x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right]'\left[ {7x - 3} \right] + \left[ {6\sqrt x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right]\left[ {7x - 3} \right]'\\
= \left[ {6.\dfrac{1}{{2\sqrt x }} - \dfrac{{ - \left[ {{x^2}} \right]'}}{{{{\left[ {{x^2}} \right]}^2}}}} \right]\left[ {7x - 3} \right] + \left[ {6\sqrt x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right].7\\= \left[ {\dfrac{3}{{\sqrt x }} + \dfrac{{2x}}{{{x^4}}}} \right]\left[ {7x - 3} \right] + 7\left[ {6\sqrt x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right]\\= \left[ {\dfrac{3}{{\sqrt x }} + \dfrac{2}{{{x^3}}}} \right]\left[ {7x - 3} \right] + 7\left[ {6\sqrt x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right]\\
= 21\sqrt x - \dfrac{9}{{\sqrt x }} + \dfrac{{14}}{{{x^2}}} - \dfrac{6}{{{x^3}}} + 42\sqrt x - \dfrac{7}{{{x^2}}}\\
= \dfrac{{ - 6}}{{{x^3}}} + \dfrac{7}{{{x^2}}} + 63\sqrt x - \dfrac{9}{{\sqrt x }}\\
c]\,\,y = \left[ {x - 2} \right]\sqrt {{x^2} + 1} \\y' = \left[ {x - 2} \right]'\sqrt {{x^2} + 1} + \left[ {x - 2} \right]\left[ {\sqrt {{x^2} + 1} } \right]'\\= 1.\sqrt {{x^2} + 1} + \left[ {x - 2} \right].\dfrac{{\left[ {{x^2} + 1} \right]'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }} \\= \sqrt {{x^2} + 1} + \left[ {x - 2} \right].\dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\\
= \sqrt {{x^2} + 1} + \left[ {x - 2} \right]\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\
= \dfrac{{{x^2} + 1 + {x^2} - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\
= \dfrac{{2{x^2} - 2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\
d]\,y = {\tan ^2}x - \cot {x^2}\\y'= \left[ {{{\tan }^2}x} \right]' - \left[ {\cot {x^2}} \right]'\\= 2\tan x.\left[ {\tan x} \right]' - \left[ {{x^2}} \right]'.\dfrac{{ - 1}}{{\sin ^2 {x^2}}}\\
= 2\tan x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}x^2}}\\
= \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} + \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}x^2}}\\
e]y = \cos \dfrac{x}{{1 + x}}\\y' = \left[ {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right]'.\left[ { - \sin \dfrac{x}{{x + 1}}} \right]\\= - \sin \left[ {\dfrac{x}{{1 + x}}} \right].\dfrac{{\left[ x \right]'\left[ {1 + x} \right] - x.\left[ {1 + x} \right]'}}{{{{\left[ {1 + x} \right]}^2}}}\\
= - \sin \dfrac{x}{{1 + x}}.\left[ {\dfrac{{1 + x - x}}{{{{\left[ {1 + x} \right]}^2}}}} \right]\\
= - \dfrac{1}{{{{\left[ {1 + x} \right]}^2}}}.\sin \dfrac{x}{{1 + x}}
\end{array}\]