Đề bài
Vẽ các hình lục giác đều, hình vuông, hình tam giác đều cùng nội tiếp đường tròn \[[O;R]\] rồi tính cạnh của các hình đó theo \[R\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng compa và thước kẻ có chia độ dài để vẽ hình.
+] Sử dụng định lý Pi-ta-go để tính R.
Lời giải chi tiết
+] Hình a.
Cách vẽ: vẽ đường tròn \[[O;R]\]. Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung \[\overparen{{A_1}{A_2}}\],\[\overparen{{A_2}{A_3}}\],...,\[\overparen{{A_6}{A_1}}\]mà dây căng cung có độ dài bằng \[R\]. Nối \[{A_1}\]với \[{A_2}\], \[{A_2}\]với \[{A_3}\],,\[{A_6}\]với \[{A_1}\] ta được hình lục giác đều \[{A_1}\]\[{A_2}\]\[{A_3}\]\[{A_4}\]\[{A_5}\]\[{A_6}\]nội tiếp đường tròn
Tính bán kính:
Gọi \[{a_i}\]là cạnh của đa giác đều có \[i\] cạnh.
\[{a_6}= R\] [vì \[O{A_1}{A_2}\]là tam giác đều]
+] Hình b.
Cách vẽ:
+ Vẽ đường kính \[A_1A_3\] của đường tròn tâm O.
+ Vẽ đường kính \[A_2A_4 A_1A_3\]
Tứ giác \[A_1A_2A_3A_4\] có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình vuông.
Nối \[A_1\] với \[A_2;A_2\] với \[A_3;A_3\] với \[A_4;A_4\] với \[A_1\] ta được hình vuông\[A_1A_2A_3A_4\]nội tiếp đường tròn [O].
Tính bán kính:
Gọi độ dài cạnh của hình vuông là \[a.\]
Vì hai đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau nên xét tam giác vuông \[O{A_1}{A_2}\] có
\[{a^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2} \Rightarrow a = R\sqrt 2 \]
+] Hình c:
Cách vẽ như câu a] hình a.
Nối các điểm chia cách nhau một điểm thì ta được tam giác đều chẳng hạn tam giác \[{A_1}{A_3}{A_5}\]như trên hình c.
Tính bán kính:
Gọi độ dài cạnh của tam giác đều là \[a.\]
\[{A_1}H\] \[=A_1O+OH= R+\dfrac{R}{2}\]=\[\dfrac{3R}{2}\]
\[{A_3}H\] \[= \dfrac{AA'}{2}=\dfrac{a}{2}\]
\[{A_1}\]\[{A_3}=a\]
Trong tam giác vuông \[{A_1}H{A_3}\]ta có: \[{A_1}{H^2} = {A_1}{A_3}^2 - {A_3}{H^2}\].
Từ đó\[\dfrac{9R^{2}}{4}\]= \[a^2\]-\[\dfrac{a^{2}}{4}\].
\[\Rightarrow{a^2} = 3{R^2} \Rightarrow a = R\sqrt 3 \]