Đề bài
Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30° thì cạnh góc vuông đối diện với nó bằng nửa cạnh huyền.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Sử dụng tính chất tam giác cân và tính chất tam giác đều
+ Trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng \[90^0\]
Lời giải chi tiết
Xét \[ABC\] có \[\widehat A = 90^\circ ;\widehat B = 30^\circ .\] Ta chứng minh:\[\displaystyle AC = {1 \over 2}BC.\]
Trên cạnh \[BC\] lấy điểm \[D\] sao cho \[CD = AC\]
Suy ra: \[ACD\] cân tại \[C\]
Mà \[\widehat C + \widehat B = 90^\circ \][tính chất tam giác vuông]
\[ \Rightarrow \widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \]
Suy ra: \[ACD\] đều [vì \[ACD\] là tam giác cân có 1 góc bằng \[60^0\]]
\[ \Rightarrow AC = AD = DC\] [1] và \[\widehat {{A_1}} = 60^\circ \]
\[\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {BAC} = 90^\circ \]\[\Rightarrow \widehat {{A_2}} = 90^\circ - \widehat {{A_1}} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]
Trong \[ADB\] ta có: \[\widehat {{A_2}} = \widehat B = 30^\circ \]
Suy ra: \[ADB\] cân tại \[D\] [vì có 2 góc kề cạnh \[AB\]bằng nhau]
\[ \Rightarrow AD = DB\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[AC = CD = DB\] mà \[CD + DB = BC ,\]suy ra \[AC=CD=DB=\dfrac{1}{2}BC\]
Vậy \[\displaystyle AC = {1 \over 2}BC.\]