Đề bài
Cho hàm số \[f:\left[ {0;1} \right] \to \left[ {0;1} \right]\] liên tục. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực \[c \in \left[ {0;1} \right]\] sao cho \[f\left[ c \right] = c.\]
Lời giải chi tiết
Nếu \[f\left[ 0\right] = 0\] hoặc \[f\left[ 1 \right] = 1\] thì hiển nhiên điều khẳng định là đúng.
Giả sử \[f\left[ 0 \right]\ne 0\] và \[f\left[ 1 \right] \ne 1.\] Xét hàm số \[g\left[ x \right] = f\left[ x \right] - x,x \in \left[ {0;1} \right].\] Hàm số \[g\] liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right].\] Vì mọi \[x \in \left[ {0;1} \right],0 \le f\left[ x \right] \le 1\] nên \[f\left[ 0 \right] > 0\] và \[f\left[ 1 \right] < 1.\] Do đó
\[g\left[ 0 \right] = f\left[ 0 \right] - 0 > 0\] và \[g\left[ 1 \right] = f\left[ 1 \right] - 1 < 0.\]
Vì \[g\left[ 0 \right],g\left[ 1 \right] < 1\] nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \[c \in \left[ {0;1} \right]\] sao cho \[g\left[ c \right] = f\left[ c \right] - c = 0,\] tức là \[f\left[ c \right] = c.\]