Tìm phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm 1;2 − 4 1 − 3;1;2 2;3;1;0 4

Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 3), B(4; 2; -5), C(5; 5; -1) và D(1; 2; 4). a) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C và tìm khoảng cách từu điểm D tới mặt phẳng đó. d) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S).

e) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳ. Bài 8 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao – I. Bài tập tự luận

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 8. Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 3), B(4; 2; -5), C(5; 5; -1) và D(1; 2; 4).a) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C và tìm khoảng cách từu điểm D tới mặt phẳng đó.d) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S).

e) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳng tọa độ.

a) Ta có:

\(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = \left( {3, – 3, – 8} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4,0, – 4} \right). \cr & \overrightarrow {AD} = \left( {0, – 3,1} \right) \cr

& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12, – 20,12} \right),\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 72 \ne 0. \cr} \)

Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.b) Giả sử mặt cầu (S) có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz = 0\).

Vì \(A,B,C,D \in \left( S \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{ 1 + 25 + 9 – 2a – 10b – 6c + d = 0 \hfill \cr 16 + 4 + 25 – 8a – 4b + 10c + d = 0 \hfill \cr 1 + 4 + 16 – 2a – 4b – 8c + d = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ 3a – 3b – 8c = 5 \hfill \cr a – c = 2 \hfill \cr – 3b + c = – 7 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 1 \hfill \cr b = 2 \hfill \cr c = – 1 \hfill \cr

d = – 19 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y + 2z – 19 = 0.\)Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1,2, – 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + 4 + 1 + 19}  = 5.\)c) Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12, – 20,12} \right) = 4\left( {3, – 5,3} \right).\)

Mp(ABC) đi qua \(A\left( {1,5,3} \right)\) nên có phương trình:

Advertisements (Quảng cáo)

\(3\left( {x – 1} \right) – 5\left( {y – 5} \right) + 3\left( {z – 3} \right)0 \Leftrightarrow 3x – 5y + 3z + 13 = 0.\)

Khoảng cách từ D đến mp(ABC) là: \(h = {{\left| {3.1 – 5.2 + 3.4 + 13} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {5^2} + {3^2}} }} = {{18} \over {\sqrt {43} }}\).d) Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với CD có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {CD}  = \left( { – 4, – 3,5} \right)\) nên có phương trình:\( – 4x – 3y + 5z + d = 0.\)

Mặt phẳng đó tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm \(I\left( {1,2, – 1} \right)\) của mặt cầu(S) tới mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) bằng 5, tức là:

\({{\left| { – 4.1 – 3.2 – 5.1 + d} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 25} }} = 5 \Leftrightarrow {{\left| { – 15 + d} \right|} \over {\sqrt {50} }} = 5 \Leftrightarrow d = 15 \pm 25\sqrt 2 .\)

Vậy \(\left( \alpha  \right): – 4x – 2y + 5z + 15 \pm 25\sqrt 2  = 0.\)

e) Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {1,2, – 1} \right)\), mp(Oxy) có phương trình là z = 0. Khoảng cách từ điểm I đến mp(Oxy) là \({d_1} = \left| { – 1} \right| = 1 < R\) nên (S) cắt mặt phẳng theo đường tròn có bán kính là \({r_1} = \sqrt {{R^2} – d_1^2}  = \sqrt {25 – 1}  = 2\sqrt 6 .\)

Tương tự mp(Oyz) có phương trình là x = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp(Oyz) là \({d_2} = \left| 1 \right| = 1 < R\) nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán kính là \({r_2} = \sqrt {{R^2} – d_2^2}  = \sqrt {25 – 1}  = 2\sqrt 6 .\)

Tương tự mp(Oxz) có phương trình là y = 0. Khoảng cách từ tâm I đến mp(Oxz) là \({d_3} = \left| 2 \right| = 2 < R\) nên (S) cắt mp(Oyz) theo đường tròn có bán kính là \({r_3} = \sqrt {{R^2} – d_3^2}  = \sqrt {25 – 4}  = \sqrt {21} .\)

15:02:1528/06/2022

Phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không phải dạng toán có thể làm khó với các em, tuy nhiên việc giải bài toán này đòi hỏi sự cẩn thận trong cách giải hệ 4 phương trình bậc nhất 4 ẩn.

Nếu các em chưa nắm chắc cách viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D như thế nào? thì các em hãy tham khảo ngay bài viết dưới đây để hiểu rõ hơn.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán về mặt cầu trong không gian Oxyz cực hay

I. Cách viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

Để viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S)

• Bước 2: Lập hệ pt dựa vào tính chất IA = IB = IC = ID

• Bước 3: Giải hệ pt tìm được tâm I, bán kính R = IA

• Bước 4: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I bán kính R

II. Ví dụ viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

* Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1) , C(2; 2; 3) và D(1; 0 ; 4).

* Lời giải:

Có thể giải theo 2 cách:

* Cách 1: Viết pt mặt cầu dạng chính tắc

- Gọi I(a;b;c) là tâm mặt cầu cần tìm, theo giả thiết ta có:

⇒ Mặt cầu (S) có tâm I(-2;1;0) và bán kính 

 (x + 2)2 + (y - 1)2 + z2 = 26

* Cách 2: Viết pt mặt cầu dạng tổng quát

- Gọi phương trình mặt cầu có dạng:  x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 , (a2 + b2 + c2 - d > 0).

- Các điểm A, B, C, D đều thuộc mặt cầu (S) nên thay lần lượt vào pt mặt cầu trên ta có hệ:

- Giải hệ pt trên được nghiệm và thay vào pt mặt cầu ta được:

 (x + 2)2 + (y - 1)2 + z2 = 26

* Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm: A(2; 0; 0), B(1; 3; 0), C(-1; 0; 3), D(1; 2; 3).

* Lời giải:

- Gọi I(a;b;c) là tâm của mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Khi đó, ta có:

Vậy I(0;1;1)

Bán kính 

Vậy phương trình mặt cầu tâm I bán kính R đi qua bốn điểm A, B, C, D có phương trình là:

 x2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 6

Hy vọng với bài viết Cách viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D  ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm \(M\left( 2;2;2 \right),\,\,N\left( 4;0;2 \right),\,P\left( 4;2;0 \right),\,\,Q\left( 4;2;2 \right)\) thì tâm I của (S) có tọa độ là :

A.

\(\left( -1;-1;0 \right)\)                         

B.

C.

D.