- LG a
- LG b
Tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh rằng:
LG a
\[2\sin A = \sin B + \sin C\];
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \[\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}}\].
Giải chi tiết:
Theo định lý sin ta có: \[\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}}\]
Ta suy ra: \[\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{{b + c}}{{\sin B + \sin C}} = \dfrac{{2a}}{{\sin B + \sin C}}\]
\[ \Rightarrow 2\sin A = \sin B + \sin C\]
LG b
\[\dfrac{2}{{{h_a}}} = \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}}\]
Phương pháp giải:
Tìm mối quan hệ giữa \[{h_a},{h_b},{h_c}\] với \[a,b,c,R\] và suy ra đẳng thức cần chứng minh.
Các công thức xem chi tiếttại đây.
Giải chi tiết:
Đối với tam giác ABC ta có: \[S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}{h_c}.c = \dfrac{{abc}}{{4R}}\].
Ta suy ra \[{h_c} = \dfrac{{ab}}{{2R}}\]. Tương tự ta có \[{h_b} = \dfrac{{ac}}{{2R}},{h_a} = \dfrac{{bc}}{{2R}}\]. Do đó:
\[\dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}} = 2R\left[ {\dfrac{1}{{ac}} + \dfrac{1}{{ab}}} \right] = 2R\dfrac{{b + c}}{{abc}}\]mà b + c = 2a
Nên \[\dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}} = \dfrac{{2R.2a}}{{abc}} = \dfrac{{2R.2}}{{bc}} = \dfrac{2}{{{h_a}}}\]
Vậy \[\dfrac{2}{{{h_a}}} = \dfrac{1}{{{h_b}}} + \dfrac{1}{{{h_c}}}\].