- LG a
- LG b
- LG c
Chứng minh các bất đẳng thức
LG a
\[|a + b| < |1 + ab|\] với \[|a| < 1; |b| < 1\]
Phương pháp giải:
Biens đổi tương đương, bình phương hai vế bất đẳng thức.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[|a + b| < |1 + ab|\]\[ [a + b]^2< [1 + ab]^2\] \[\Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} < 1 + 2ab + {a^2}{b^2}\]
\[ a^2b^2 a^2 b^2+ 1 > 0\] \[ a^2[b^2 1] [b^2 1] > 0\]
\[ [a^2 1][b^2 1] > 0\]
Vì
\[\begin{array}{l}
\left| a \right| < 1,\left| b \right| < 1\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} < 1\\
{b^2} < 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - 1 < 0\\
{b^2} - 1 < 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ {{a^2} - 1} \right]\left[ {{b^2} - 1} \right] > 0
\end{array}\]
Vậy với \[|a| < 1; |b| < 1\] thì \[|a + b| < |1 + ab|\]
LG b
\[\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \ge \dfrac{1}{2}\]
với mọi n N*
Phương pháp giải:
Đánh giá so sánh từng số hạng của tổng với 1/2n.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\dfrac{1}{{n + 1}} \ge \dfrac{1}{{2n}};\]\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{{n + 2}} \ge \dfrac{1}{{2n}};\]\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} .....;\]\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{{2n}}\]\[ = \dfrac{1}{{2n}}\]
Do đó:
\[\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \]\[\ge \underbrace {\dfrac{1}{{2n}} + \dfrac{1}{{2n}} + .... + \dfrac{1}{{2n}}}_n \]\[\Rightarrow \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \ge \]\[n\dfrac{1}{{2n}} = \dfrac{1}{2}\]
Vậy ta được điều phải chứng minh.
LG c
\[\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}} \le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}\] với mọi \[a 0; b 0\]. Khi nào có đẳng thức?
Phương pháp giải:
Tách vế trái thành tổng, đánh giá từng số hạng của tổng.
Lời giải chi tiết:
\[\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}}\]\[ = \dfrac{a}{{1 + a + b}} + \dfrac{b}{{1 + a + b}}\]
Vì a 0; b 0 nên
\[\left\{ \begin{array}{l}
1 + a + b \ge 1 + a\\
1 + a + b \ge 1 + b
\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{a}{{1 + a + b}} \le \dfrac{a}{{1 + a}}\\
\dfrac{b}{{1 + a + b}} \le \dfrac{b}{{1 + b}}
\end{array} \right.\]
Suy ra \[\dfrac{a}{{1 + a + b}} + \dfrac{b}{{1 + a + b}}\] \[\le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}\]
Vậy ta có đpcm.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \[a = 0\]hoặc \[b = 0\] hoặc\[a = b = 0\].