Cách xác định tọa độ điểm trong không gian

PHẦN 7. HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

1. HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

1.1. Các khái niệm và tính chất

1.1.1.  Khái niệm mở đầu

Trong không gian cho ba trục $Ox,Oy,Oz$ phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ $O,$ truc hoành $Ox,$ trục tung $Oy,$ trục cao $Oz,$ các mặt tọa độ $\left[ Oxy \right],\left[ Oyz \right],\left[ Ozx \right].$

1.1.2. Khái niệm về hệ trục tọa độ

Khi không gian có hệ tọa độ thì gọi là không gian tọa độ $Oxyz$ hay không gian $Oxyz.$

Chú ý:       

1.1.3. Tọa độ véc tơ              

1.1.4. Tọa độ điểm               

1.1.5. Các công thức tọa độ cần nhớ

Cho 

• $\vec{u}=\vec{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a=a' \\  & b=b' \\  & c=c' \\ \end{align} \right.$
• $k\overrightarrow{u}=\left[ ka;\ kb;\ kc \right]$
• $\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}=\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{v} \right|.\cos \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right]=aa'+bb'+cc'$
• $\cos \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right]=\frac{\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{v} \right|}=\frac{aa'+bb'+cc'}{\left| \overrightarrow{u} \right|\left| \overrightarrow{v} \right|}$
• $\left| \overrightarrow{u} \right|=\sqrt{{{\overrightarrow{u}}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}$
• $\overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{v}\Leftrightarrow \overrightarrow{u}\overrightarrow{v}=0$
• $\overrightarrow{AB}=\left[ {{x}_{B}}-{{x}_{A}};\ {{y}_{B}}-{{y}_{A}};\ {{z}_{B}}-{{z}_{A}} \right]$
• $AB=\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{{{\left[ {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right]}^{2}}+{{\left[ {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right]}^{2}}+{{\left[ {{z}_{B}}-{{z}_{A}} \right]}^{2}}}$

1.1.6. Chú ý

1.1.7. Chia tỉ lệ đoạn thẳng

M chia AB theo tỉ số k nghĩa là 

Công thức tọa độ của M là : 

1.1.8. Công thức trung điểm

1.1.9. Công thức trọng tâm tam giác

1.1.10. Công thức trọng tâm tứ diện

1.1.11. Tích có hướng 2 véc tơ

1.1.12. Tính chất tích có hướng 2 véc tơ

• • $\left[ \vec{u},\vec{v} \right]$ vuông góc với $\vec{u}$ và $\vec{v}$
  • $\left| \left[ \vec{u},\vec{v} \right] \right|=\left| {\vec{u}} \right|.\left| {\vec{v}} \right|\sin \left[ \vec{u},\vec{v} \right]$
  • $\left[ \vec{u},\vec{v} \right]=\vec{0}\Leftrightarrow \vec{u},\vec{v}$cùng phương

1.1.13. Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ

1.2. Phương pháp giải 1 số bài toán thường gặp

1.2.1. Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm

Phương pháp giải

• • Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
  • Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.

1.2.2. Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích

Phương pháp giải

• • Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
  • Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
  • Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt.
  • Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:
• $A,\,B,\,C$ thẳng hàng  $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB};\ \overrightarrow{AC}$ cùng phương  $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{AB};\ \overrightarrow{AC} \right]=\overrightarrow{0}$
• $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
• Cho  $\Delta ABC$ có các chân  $E;\ F$ của các đường phân giác trong và ngoài của góc $A$  của $\Delta ABC$  trên $BC$.

Ta có:       $\overrightarrow{EB}=\frac{-AB}{AC}.\overrightarrow{EC};\ \ \ \ \overrightarrow{FB}=\frac{AB}{AC}.\overrightarrow{FC}$

• $A,\,B,C,D$ không đồng phẳng $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB};\ \overrightarrow{AC};\ \overrightarrow{AD}$ không đồng phẳng 

                                                 $\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}\ne 0$

2. MẶT PHẲNG

2.1.5.  Những trường hợp riêng của  phương trình tổng quát

• $\left[ P \right]$ qua gốc tọa độ  $\Leftrightarrow D=0$
• $\left[ P \right]$ song song hoặc trùng $\left[ Oxy \right]\Leftrightarrow A=B=0$
• $\left[ P \right]$ song song hoặc trùng $\left[ Oyz \right]\Leftrightarrow B=C=0$
• $\left[ P \right]$ song song hoặc trùng $\left[ Ozx \right]\Leftrightarrow A=C=0$
• $\left[ P \right]$ song song hoặc chứa $Ox\Leftrightarrow A=0$
• $\left[ P \right]$ song song hoặc chứa $Oy\Leftrightarrow B=0$
• $\left[ P \right]$ song song hoặc chứa $Oz\Leftrightarrow C=0$
• $\left[ P \right]$ cắt $Ox$ tại $A\left[ a;0;0 \right],$ cắt $Oy$ tại $B\left[ 0;b;0 \right]$ và cắt $Oz$ tại $C\left[ 0;0;c \right]\Leftrightarrow \left[ P \right]$ có phương trình $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\ \ \ \left[ a,b,c\ \ne 0 \right]$

2.1.6.  Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

2.1.7.  Chùm mặt phẳng

2.2. Viết phương trình mặt phẳng

Để lập phương trình mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]$ ta cần xác định một điểm thuộc $\left[ \alpha  \right]$ và một VTPT của nó.

2.2.1. Dạng 1

$\left[ \alpha  \right]$ đi qua điểm  $M\left[ {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};{{z}_{0}} \right]$ có VTPT  $\overrightarrow{n}=\left[ A;B;C \right]$ thì:

$\left[ \alpha  \right]:\ A\left[ x-{{x}_{0}} \right]+B\left[ y-{{y}_{0}} \right]+C\left[ z-{{z}_{0}} \right]=0$

2.2.2. Dạng 2

$\left[ \alpha  \right]$ đi qua điểm $M\left[ {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};{{z}_{0}} \right]$ có cặp VTCP $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ thì $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]$ là  một VTPT của  $\left[ \alpha  \right]$

2.2.3. Dạng 3

$\left[ \alpha  \right]$ đi qua điểm $M\left[ {{x}_{0}};\ {{y}_{0}};{{z}_{0}} \right]$ và song song với $\left[ \beta  \right]:Ax+By+Cz=0$ thì $\left[ \alpha  \right]:\ A\left[ x-{{x}_{0}} \right]+B\left[ y-{{y}_{0}} \right]+C\left[ z-{{z}_{0}} \right]=0$$$ 

2.2.4. Dạng 4

$\left[ \alpha  \right]$ đi qua 3 điểm không thẳng hàng $A,\ B,\ C$. Khi đó ta có thể xác định một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]$

2.2.5. Dạng 5

$\left[ \alpha  \right]$ đi qua một điểm $M$ và một đường thẳng $\left[ d \right]$ không chứa $M$:

• Trên $\left[ \alpha  \right]$ lấy điểm $A$  và VTCP $\overrightarrow{u}$.
• Một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{u} \right]$

2.2.6. Dạng 6

$\left[ \alpha  \right]$ đi qua một điểm $M$, vuông góc với đường thẳng $\left[ d \right]$ thì VTCP $\overrightarrow{u}$ của đường thẳng $\left[ d \right]$ là một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$.

2.2.7. Dạng 7

$\left[ \alpha  \right]$ chứa đường thẳng cắt nhau ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}$

• Xác định các VTCP  $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ của các đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}.$
• Một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]$
• Lấy một điểm $M$ thuộc d1 hoặc ${{d}_{2}}\Rightarrow M\in \left[ \alpha  \right]$

2.2.8. Dạng 8

$\left[ \alpha  \right]$ chứa đường thẳng ${{d}_{1}}$ và song song với đường thẳng ${{d}_{2}}$ [${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ chéo nhau:

• Xác định các VTCP  $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ của các đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}.$
• Một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b} \right]$
• Lấy một điểm $M$ thuộc ${{d}_{1}}\Rightarrow M\in \left[ \alpha  \right]$

2.2.9. Dạng 9

$\left[ \alpha  \right]$ đi qua điểm $M$ và song song với hai đường thẳng chéo nhau ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$:

• Xác định các VTCP  $\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$ của các đường thẳng ${{d}_{1}},\ {{d}_{2}}.$
• Một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$ là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b} \right]$.

2.2.10. Dạng 10

$\left[ \alpha  \right]$ chứa một đường thẳng $d$  và vuông góc với một mặt phẳng $\left[ \beta  \right]$

• Xác định VTCP $\overrightarrow{u}$  của $d$ và VTPT $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}$ của $\left[ \beta  \right]$
• Một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$  là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{{{n}_{\beta }}} \right]$
• Lấy một điểm $M$  thuộc $d\Rightarrow M\in \left[ \alpha  \right]$

2.2.11. Dạng 11

$\left[ \alpha  \right]$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau $\left[ \beta  \right],\ \left[ \gamma  \right]:$

• Xác định các VTPT $\overrightarrow{{{n}_{\beta }}},\ \overrightarrow{{{n}_{\gamma }}}$  của $\left[ \beta  \right]$  và $\left[ \gamma  \right]$
• Một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$  là: $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{\beta }}},\ \overrightarrow{{{n}_{\gamma }}} \right]$

2.2.12. Dạng 12

$\left[ \alpha  \right]$ chứa đường thẳng $d$  cho trước và cách điểm $M$  cho trước một khoảng $k$ cho trước:

• Giả sử $\left[ \alpha  \right]$ có phương trình: $Ax+By+Cz+D=0\ \ \left[ {{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}\ne 0 \right]$
• Lấy 2 điểm $AB\in \left[ d \right]\Rightarrow A,\ B\in \left[ \alpha  \right]$ [ta được hai phương trình $\left[ 1 \right],\left[ 2 \right]$]
• Từ điều kiện khoảng cách $d\left[ M,\ \left[ \alpha  \right] \right]=k$ , ta được phương trình [3].
• Giải hệ phương trình $\left[ 1 \right],\left[ 2 \right],\left[ 3 \right]$ [bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại].

2.2.13. Dạng 13

$\left[ \alpha  \right]$ là tiếp xúc với mặt cầu $\left[ S \right]$ tại điểm $H.$

• Giả sử mặt cầu $\left[ S \right]$  có tâm $I$ và bán kính $R$
• Một VTPT của $\left[ \alpha  \right]$ là: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{IH}$

2.3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng $\left[ P \right]:Ax+By+Cz+D=0$  và $\left[ P' \right]:\ A'x+B'y+C'z+D'=0$

Khi đó:

• $\left[ P \right]$  cắt $\left[ P' \right]$ $\Leftrightarrow A:B:C\ne A':B':C'$
•  $\left[ P \right]//\left[ P' \right]\Leftrightarrow \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}\ne \frac{D}{D'}$
•  $\left[ P \right]\equiv \left[ P' \right]\Leftrightarrow \frac{A}{A'}=\frac{B}{B'}=\frac{C}{C'}=\frac{D}{D'}$
•  $\left[ P \right]\bot \left[ P' \right]\Leftrightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left[ P \right]}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{\left[ P' \right]}}\Leftrightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left[ P \right]}}.{{\overrightarrow{n}}_{\left[ P' \right]}}=0\Leftrightarrow AA'+BB'+CC'=0$

2.4. Khoảng cách và hình chiếu

2.4.1.  Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm ${{M}_{0}}\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right]$ đến mặt phẳng $\left[ \alpha  \right]:\ Ax+By+Cz+D=0$ là $d\left[ {{M}_{0}},\left[ \alpha  \right] \right]=\frac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C{{z}_{0}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}$

2.4.2.  Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

2.4.3.  Hình chiếu của 1 điểm lên mặt phẳng

Điểm $H$ là hình chiếu của điểm $M$ trên $\left[ P \right]\Leftrightarrow \ \overrightarrow{MH},\ \overrightarrow{n}$ cùng phương $\left[ H\in \left[ P \right] \right]$

2.4.4.  Điểm đối xứng của 1 điểm qua mặt phẳng

Điểm $M'$ đối xứng với điểm $M$ qua $\left[ P \right]\Leftrightarrow \overrightarrow{MM'}=2\overrightarrow{MH}$

2.5.  Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng $\left[ \alpha  \right],\ \left[ \beta  \right]$ có phương trình: $\left[ \alpha  \right]:\ {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}z+{{D}_{1}}=0$

$\ \ \ \left[ \beta  \right]:\ {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}z+{{D}_{2}}=0$

Góc giữa $\left[ \alpha  \right],\ \left[ \beta  \right]$  bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT  $\overrightarrow{{{n}_{1}}},\ \overrightarrow{{{n}_{2}}}$.

$\cos \left[ \left[ \alpha  \right],\left[ \beta  \right] \right]=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\frac{\left| {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}} \right|}{\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{B}_{1}}^{2}+{{C}_{1}}^{2}}+\sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}$

Chú ý:       ${{0}^{0}}\le \left[ \widehat{\left[ \alpha  \right],\left[ \beta  \right]} \right]\le {{90}^{0}}$ ;    $\left[ \alpha  \right]\bot \left[ \beta  \right]\Leftrightarrow {{A}_{1}}{{A}_{2}}+{{B}_{1}}{{B}_{2}}+{{C}_{1}}{{C}_{2}}=0$

2.6.  Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

Cho mặt phẳng  $\left[ \alpha  \right]:\ Ax+By+Cz+D=0$ và mặt cầu $\left[ S \right]:\ {{\left[ x-a \right]}^{2}}+{{\left[ y-b \right]}^{2}}+{{\left[ z-c \right]}^{2}}={{R}^{2}}$  có tâm $I$

• $\left[ \alpha  \right]$  và $\left[ S \right]$  không có điểm chung $\Leftrightarrow d\left[ I,\left[ \alpha  \right] \right]>R$
•   $\left[ \alpha  \right]$ tiếp xúc với $\left[ S \right]\Leftrightarrow d\left[ I,\left[ \alpha  \right] \right]=R$  với$\left[ \alpha  \right]$ là tiếp diện

Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:

• Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua tâm $I$  của $\left[ S \right]$ và vuông góc với $\left[ \alpha  \right]$.
• Tìm toạ độ giao điểm $H$  của $d$ và $\left[ \alpha  \right]$.  $H$  là tiếp điểm của $\left[ S \right]$  với $\left[ \alpha  \right]$.

• $\left[ \alpha  \right]$ cắt $\left[ S \right]$  theo một đường tròn $\Leftrightarrow d\left[ I,\ \left[ \alpha  \right] \right]