- LG a
- LG b
Giải các hệ phương trình sau:
LG a
\[\left\{ \matrix{{\log ^2}x = {\log ^2}y + {\log ^2}xy \hfill \cr{\log ^2}\left[ {x - y} \right] + \log x\log y = 0 \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \[x > 0,y > 0,x > y\]
Biến đổi phương trình đầu như sau:
\[\eqalign{& {\log ^2}x = {\log ^2}y + {\left[ {\log x + \log y} \right]^2} \cr&\Leftrightarrow 2{\log ^2}y + 2\log x\log y = 0 \cr& \Leftrightarrow \log y\left[ {\log x + \log y} \right] = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{\log y = 0 \hfill \cr\log x + \log y = 0 \hfill \cr} \right.\left[ \matrix{ y = 1 \hfill \cr y = {1 \over x} \hfill \cr} \right. \cr} \]
- Với \[y = 1\], thế vào phương trình thứ hai ta được
\[{\log ^2}\left[ {x - 1} \right] + \log x\log 1 = 0 \]
\[\Leftrightarrow x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2\]
- Với \[y = {1 \over x}\], thế vào phương trình thứ hai ta được
\[\eqalign{& {\log ^2}\left[ {x - {1 \over x}} \right] + \log x\log {1 \over x} = 0 \cr&\Leftrightarrow{\log ^2}{{{x^2} - 1} \over x} - {\log ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{log{{{x^2} - 1} \over x} = \log x \hfill \cr log{{{x^2} - 1} \over x} = - \log x \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{{x^2} - 1 = {x^2}\left[ {loại} \right] \hfill \cr {{{x^2} - 1} \over x} = {1 \over x} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {x^2} = 2 \cr} \]
Kết hợp với ĐKXĐ, ta được \[x = \sqrt 2 ;y = {1 \over {\sqrt 2 }}\]
Vậy\[\left[ {x;y} \right]\] là \[\left[ {2;1} \right],\left[ {\sqrt 2 ;{1 \over {\sqrt 2 }}} \right]\]
LG b
\[\left\{ \matrix{{3^{\log x}} = {4^{\log y}} \hfill \cr{\left[ {4x} \right]^{\log 4}} = {\left[ {3y} \right]^{\log 3}} \hfill \cr} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Lôgarit có số 10 của hai vế phương trình trong hệ ta được
\[\left\{ \matrix{\log x\log 3 = \log y\log 4 \hfill \cr\log 4\left[ {\log 4 + \log x} \right] = \log 3\left[ {\log 3 + \log y} \right] \hfill \cr} \right.\]
Rồi đặt \[u = \log x,v = \log y\]
Tìm u, v giải ra x, y ta được:
\[\left[ {x;y} \right] = \left[ {{1 \over 4};{1 \over 3}} \right]\]