Đề bài
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[I\] và \[J\] lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh \[AD\] và \[BC\] sao cho \[\dfrac{IA}{ID} = \dfrac{JB}{JC}\]. Chứng minh rằng \[IJ\] luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lý talet.
Sử dụng tính chất: Nếu đường thẳng \[d\] không năm trong mặt phẳng \[[\alpha]\] và \[d\] song song với đường thẳng \[d\] nằm trong \[[\alpha]\] thì \[d\] song song với \[[\alpha]\].
\[\left\{ \begin{array}{l}d \not\subset [\alpha ]\\d\parallel d'\\d' \subset [\alpha ]\end{array} \right. \Rightarrow d\parallel [\alpha ]\]
Sử dụng tính chất khi \[[\alpha]\] song song với \[[\beta]\] thì \[[\alpha]\] sẽ song song với mọi đường thẳng nằm trong \[[\beta]\].
Lời giải chi tiết
Qua \[I\] kẻ đường thẳng song song với \[CD\] cắt \[AC\] tại \[H\] nên ta có:
\[\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{IA}{ID}\].
Mà \[\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{JB}{JC}\].
Từ đó suy ra \[\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{JB}{JC}\].
Theo định lý Talet suy ra \[HJ\parallel AB\] mà \[HJ\subset [IJH]\] \[\Rightarrow AB\parallel [IJH]\] \[\text{ [1]}\]
Theo cách dựng \[IH\parallel CD\], \[IH\subset [IJH]\] \[\Rightarrow CD\parallel [IJH]\] \[\text{ [2]}\]
Từ \[\text{[1]}\] và \[\text{[2]}\] suy ra \[[IJH]\parallel AB, CD\].
Gọi \[[\alpha]\] là mặt phẳng đi qua \[AB\] và song song với \[CD\].
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}[\alpha ]\parallel [{\rm{IJ}}H]\\{\rm{IJ}} \subset [{\rm{IJ}}H]\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{IJ}}\parallel [\alpha ]\]
Vậy \[IJ\] song song với mặt phẳng \[[\alpha]\] cố định.