Đề bài
Cho tam giác \[ABC.\]Chứng minh rằng hai đường phân giác của hai góc ngoài tại\[B\]và\[C\]và đường phân giác trong của góc\[A\]cùng đi qua một điểm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+]Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó
+]Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Lời giải chi tiết
Gọi\[K\]là giao điểm của hai tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh\[B\]và góc ngoài tại đỉnh\[C.\]
Ta chứng minhđường phân giác trong của \[\widehat {A}\]đi qua\[K.\]
Kẻ \[KE \bot BC\] tại E, \[KF \bot {\rm{A}}C\] tại F, \[K{\rm{D}} \bot AB\] tại D.
Vì\[K\]nằm trên tia phân giác của \[\widehat {CB{\rm{D}}}\]
\[ \Rightarrow KD = KE\] [tính chất tia phân giác] [1]
Vì\[K\]nằm trên tia phân giác của \[\widehat {BCF}\]
\[ \Rightarrow KE = KF\][tính chất tia phân giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra:\[KD = KF\]
Điểm \[K\]nằm trong \[\widehat {BAC}\]cách đều 2 cạnh\[AB\]và\[AC\]
Suy ra điểm\[K\]nằm trên tia phân giác của \[\widehat {BAC}\]
Vậy đường phân giác trong của \[\widehat {A}\]đi qua\[K.\]