Đề bài
Cho ba đường tròn \[\left[ {{I_1};{R_1}} \right],\left[ {{I_2};{R_2}} \right],\left[ {{I_3};{R_3}} \right]\] không đồng tâm và không bằng nhau. Gọi \[O_3^ + \] và\[O_3^ - \] lần lượt là tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong của hai đường tròn \[\left[ {{I_1};{R_1}} \right]\] và \[\left[ {{I_2};{R_2}} \right]\]; \[O_1^ + \] và \[O_1^ - \] lần lượt là tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong của hai đường tròn \[\left[ {{I_2};{R_2}} \right]\] và \[\left[ {{I_3};{R_3}} \right]\]; \[O_2^ + \] và \[O_2^ - \] lần lượt là tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong của hai đường tròn \[\left[ {{I_3};{R_3}} \right]\] và \[\left[ {{I_1};{R_1}} \right]\].Chứng minh rằng mỗi bộ ba điểm sau đây thẳng hàng:
\[O_1^ + ,O_2^ + ,O_3^ + \]; \[O_1^ + ,O_2^ - ,O_3^ - \]; \[O_1^ - ,O_2^ + ,O_3^ - \] và \[O_1^ - ,O_2^ - ,O_3^ + \].
Lời giải chi tiết
Phép vị tự tâm \[O_3^ + \] tỉ số \[{{{R_2}} \over {{R_1}}}\] biến đường tròn \[\left[ {{I_1};{R_1}} \right]\] thành đường tròn \[\left[ {{I_2};{R_2}} \right]\]
Phép vị tự tâm \[O_1^ + \] tỉ số \[{{{R_3}} \over {{R_2}}}\] biến đường tròn \[\left[ {{I_2};{R_2}} \right]\] thành đường tròn \[\left[ {{I_3};{R_3}} \right]\].
Theo câu b] bài 54, phép hợp thành của hai phép vị tự đó là phép vị tự, có tỉ số:
\[{{{R_2}} \over {{R_1}}}.{{{R_3}} \over {{R_2}}} = {{{R_3}} \over {{R_1}}}\]
và biến đường tròn \[\left[ {{I_1};{R_1}} \right]\] thành đường tròn \[\left[ {{I_3};{R_3}} \right]\].
Vậy tâm của phép vị tự hợp thành đó chính là điểm \[O_2^ + \].Suy ra ba điểm \[O_1^ + ,O_2^ + ,O_3^ + \] thẳng hàng.
Chứng minh tương tự cho các bộ ba điểm còn lại.