\[\begin{array}{l}f\left[ 0 \right] = {0^2}\cos 0 + 0\sin 0 + 1 = 1 > 0\\f\left[ \pi \right] = {\pi ^2}\cos \pi + \pi \sin \pi + 1\\ = {\pi ^2}.\left[ { - 1} \right] + \pi .0 + 1 = 1 - {\pi ^2} < 0\end{array}\]
Đề bài
Chứng minh rằng phương trình :
\[{x^2}\cos x + x\sin x + 1 = 0\]
Có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [0 ; π].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lý: Nếu hàm số f[x] liên tục trên đoạn [a;b] và \[f[a].f[b] 0\\
f\left[ \pi \right] = {\pi ^2}\cos \pi + \pi \sin \pi + 1\\
= {\pi ^2}.\left[ { - 1} \right] + \pi .0 + 1 = 1 - {\pi ^2} < 0
\end{array}\]
Vì \[f[0].f[1] < 0\] nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \[c \in [0 ; π]\] sao cho \[f[c] = 0\].
Hay phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm [số c] trong khoảng \[[0;\pi]\].