\[\eqalign{ & t + {1 \over t} - 3 < 0 \cr & \Leftrightarrow {{{t^2} - 3t + 1} \over t} < 0 \cr &\Leftrightarrow {t^2} - 3t + 1 < 0\,\,[\text{ do }t > 0] \cr & \Leftrightarrow {{3 - \sqrt 5 } \over 2} < t < {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \cr &\Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} < {2^x} < \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\cr &\Leftrightarrow \log _2 {{3 - \sqrt 5 } \over 2} < x < \log_2 {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \cr} \]
Đề bài
Giải bất phương trình: \[{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}-{\rm{ }}3{\rm{ }} < {\rm{ }}0\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đặt \[{2^x} = t\], giải bất phương trình ẩn \[t\] suy ra \[x\].
Lời giải chi tiết
\[BPT \Leftrightarrow {2^x} + \dfrac{1}{{{2^x}}} - 3 < 0\]
Đặt \[{2^x} = t\].ĐK: \[t > 0.\]
Ta có bất phương trình:
\[\eqalign{
& t + {1 \over t} - 3 < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{t^2} - 3t + 1} \over t} < 0 \cr &\Leftrightarrow {t^2} - 3t + 1 < 0\,\,[\text{ do }t > 0] \cr
& \Leftrightarrow {{3 - \sqrt 5 } \over 2} < t < {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \cr
&\Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} < {2^x} < \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}\cr &\Leftrightarrow \log _2 {{3 - \sqrt 5 } \over 2} < x < \log_2 {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \cr} \]