Cho hàm số [f[ x ] = [ [m + 1] ]x + 5 - m ], với [m ] là tham số thực. Tập hợp các giá trị của [m ] để bất phương trình [f[ x ] > 0 ] đúng với mọi [x thuộc [ [0;3] ] ] là
Câu 44824 Vận dụng cao
Cho hàm số \[f\left[ x \right] = \left[ {m + 1} \right]x + 5 - m\], với \[m\] là tham số thực. Tập hợp các giá trị của \[m\] để bất phương trình \[f\left[ x \right] > 0\] đúng với mọi \[x \in \left[ {0;3} \right]\] là
Đáp án đúng: c
Phương pháp giải
- Biện luận nghiệm của bất phương trình trong từng trường hợp của \[m\]
- Trong mỗi trường hợp, tìm \[m\] để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \[x \in \left[ {0;3} \right]\]
...
Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀIBài toán “Tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có nghiêm” là một bài toán quan trọng và thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào các trường Đạị học và Cao đẳng. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh thường lúng túng khi gặp bài toán này hoặc gặp khó trong lúc giải quyết bài toán vì thường gặp khó bởi điều kiện phát sinh khi giải toán. Trong chuyên đề này tôi trao đổi cách vận dụng đạo hàm để giải những bài toán thuộc dạng trênII. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.1. Cơ sở lí thuyết: Trước tiên ta xét các mệnh đề sau được suy luận từ định nghĩa hàm số đơn điệu và các kinh nghiệm trong giải toán:Cho hàm số y = f[x] liên tục trên tập D1] Phương trình: f[x] = m có nghiệm x∈D min [ ] ax [ ]x Dx Df x m m f x∈∈⇔ ≤ ≤2] Bất phương trình: [ ]f x m≤ có nghiệm x∈D min [ ]x Df x m∈⇔ ≤3] Bất phương trình: [ ]f x m≤ nghiệm đúng x D ∀ ∈ max [ ]x Df x m∈⇔ ≤4] Bất phương trình: [ ]f x m≥ có nghiệm x∈D ax [ ]x Dm m f x∈⇔ ≤5] Bất phương trình: [ ]f x m≥ nghiệm đúng x D ∀ ∈ min [ ]x Dm f x∈⇔ ≤6] hàm số y = f[x] đơn điệu trên tập D thì [ ] [ ] [ , ]f u f v u v u v D= ⇔ = ∀ ∈2. Phương pháp giải toán:Để giải bài toán tìm giá trị của tham số m để phương trình[PT], bất phương trình[BPT] có nghiệm ta có thể thực hiện theo các bước sau: Biến đổi PT[BPT] về dạng: f[x] = g[m] [hoặc [ ] [ ], [ ] [ ]f x g m f x g m≤ ≥] Tìm tập xác định D của hàm số f[x] Lập bảng biến thiên của hàm số f[x] Xác định: min [ ] , ax [ ]x Dx Df x m f x∈∈ Vận dụng một trong các mệnh đề đã nêu ở mục 1 rút ra kết luận cho bài toán.Lưu ý: Trong trường hợp PT[BPT] chứa các biểu thức phức tạp ta làm như sau Đặt ẩn số phụ t = [ ]xϕ Từ điều kiện ràng buộc của ẩn x ta tìm điều kiện cho ẩn t Đưa PT[BPT] ẩn số x về PT[BPT] theo ẩn số t Ta được f[t] = g[m] hoặc [ ] [ ], [ ] [ ]f t g m f t g m≤ ≥ Lập bảng biến thiên của hàm số f[t] Từ bảng biến thiên của hàm số f[t] và các mệnh đề đã nêu ở mục 1 rút ra kết luận của bài toán3. Một số ví dụ minh họa 1Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin Thí dụ 1: Chứng minh rằng: 0m∀ > phương trình 22 8 [ 2]x x m x+ − = − luôn có 2 nghiệm thực phân biệt. [trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2007]GiảiĐiều kiện: 2x ≥ta có: 22 8 [ 2]x x m x+ − = −3 2[ 2][ 6 32 ] 0x x x m⇔ − + − − =3 226 32 [*]xx x m=⇔+ − =đặt f[x] = x3 + 6x2 – 32 ta có f’[x] = 3x2 + 12x > 0 với mọi x > 2bảng biến thiên x 2 +∞f’[x] +f[x] +∞ 0 Từ bảng biến thiên và mục 1] ta có m > 0 [*] luôn có một nghiệm x > 2Vậy bài toán được chứng minhThí dụ 2 : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 243 1 1 2 1x m x x− + + = −có nghiệm[trích đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2007]GiảiĐiều kiện : 1x ≥243 1 1 2 1x m x x− + + = − 24241 13 21[ 1]x xmxx− −⇔ + =++ 41 13 21 1x xmx x− −⇔ + =+ +Đặt 411xtx−=+ với 1x ≥ ta có 0t ≥ thay vào phương trình ta được 22 3 [ ]m t t f t= − = ta có : '[ ] 2 6f t t= − ta có : 1'[ ] 03f t t= ⇔ =t 0 13 +∞f’[t] + 0 f[t] 130 −∞Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm khi 13m ≤Thí dụ 3 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt : 22 2 1x mx x+ + = + [*] [trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006]Giải :Điều kiện : 12x ≥ − vì x = 0 không là nghiệm nên2Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin 223 4 1[*] 3 4 1x xx x mx mx+ −⇔ + − = ⇔ =Xét 23 4 1[ ]x xf xx+ −= ta có 23 1'[ ] 0 0xf x xx+= > ∀ ≠Bảng biến thiênx12− 0 +∞f’[x] + +f[x] +∞ +∞92 −∞ Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm thì 92m ≥Thí dụ 4: Cho phương trình : 2 23 3log log 1 2 1 0 [1]x x m+ + − − =a. Giải phương trình khi m = 2b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm trên 31;3 [Trích đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2002]Giải Đặt 23log 1t x= + điều kiện : 1t ≥ta được : 22 2 0 [*]t t m+ − − = khi 31;3 [1;2]x t ∈ ⇒ ∈ a. khi m = 2 ta được : 26 0t t+ − =2 3 [ ]t t L⇔ = ∨ = −23log 1 2x⇔ + =23log 1 4x⇔ + =3 3x⇔ =b. khi 3[1;3 ] [1;2]x t∈ ⇒ ∈ ta có : 22[*] [ ]2t tf t m+ −⇔ = =Bảng biến thiênt 1 2f’[t] +f[t] 2 0 Từ bảng biến thiên ta có : 0 2m≤ ≤Thí dụ 5 : Tìm m để bất phương trình : 2[1 2 ][3 ] 2 5 3x x m x x+ − > + − + nghiệm đúng với mọi 1;32x ∈ − Giải Đặt [1 2 ][3 ]t x x= + −khi 1 7 2;3 0;2 4x t ∈ − ⇒ ∈ thay vào bất phương trình ta được2[ ]f t t t m= + >3Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin t 0 7 24f’[t] +f[t] 49 14 28+ 0 Từ bảng biến thiên ta có : 0m