Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
- LG c
Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.
LG a
\[x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3;\]
Phương pháp giải:
Đánh giá mỗi vế của các bất phương trình rồi nhận xét.
Lời giải chi tiết:
\[x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3\]
ĐK:\[x + 8 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 8\]
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\\sqrt {x + 8} \ge 0\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow {x^2} + \sqrt {x + 8} \ge 0 > -3\]
\[ \Rightarrow {x^2} + \sqrt {x + 8} > - 3,\forall x \ge - 8 \]
Vậy bất phương trình \[{x^2} + \sqrt {x + 8} \le - 3\] vô nghiệm.
LG b
\[\sqrt{1+2[x-3]^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \dfrac{3}{2};\]
Lời giải chi tiết:
\[\sqrt{1+2[x-3]^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \dfrac{3}{2}\]
Ta có: \[{\left[ {x - 3} \right]^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left[ {x - 3} \right]^2} \ge 0\] \[ \Rightarrow 1 + 2{\left[ {x - 3} \right]^2} \ge 1\] \[ \Rightarrow \sqrt {1 + 2{{\left[ {x - 3} \right]}^2}} \ge 1\]
\[5 - 4x + {x^2}\] \[ = \left[ {{x^2} - 4x + 4} \right] + 1\] \[ = {\left[ {x - 2} \right]^2} + 1 \ge 1\] \[ \Rightarrow \sqrt {5 - 4x + {x^2}} \ge 1\]
\[ \Rightarrow \sqrt {1 + 2{{\left[ {x - 3} \right]}^2}} + \sqrt {5 - 4x + {x^2}} \] \[ \ge 1 + 1 = 2 > \dfrac{3}{2}\]
\[ \Rightarrow \] BPT \[\sqrt {1 + 2{{\left[ {x - 3} \right]}^2}} + \sqrt {5 - 4x + {x^2}} < \dfrac{3}{2}\] vô nghiệm.
LG c
\[\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1.\]
Lời giải chi tiết:
\[\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1\]
Vì \[1 < 7 \Rightarrow 1 + {x^2} < 7 + {x^2}\] \[ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} < \sqrt {7 + {x^2}} \]
\[ \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {7 + {x^2}} < 0 < 1\]
\[ \Rightarrow \] BPT \[\sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {7 + {x^2}} > 1\] vô nghiệm.