Đề bài
Trong mặt phẳngtọa độ \[Oxy\], trên các tia \[Ox, Oy\] lần lượt lấy các điểm \[A\] và \[B\] thay đổi sao cho đường thẳng \[AB\] luôn tiếp xúc với đường tròn tâm \[O\] bán kính \[1\]. Xác định tọa độ của \[A\] và \[B\] để đoạn \[AB\] có độ dài nhỏ nhất.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng hệ quả: Hai số dương bất kì có tích không đổi thì tổng đạt giá trị nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
BĐT Cô si: Cho hai số dương a, b. Khi đó \[a + b \ge 2\sqrt {ab} \].
Dấu "=" xảy ra khi \[a=b\].
Lời giải chi tiết
Tam giác AOB vuông tại O có OH là đường cao nên \[HA.HB = O{H^2} = {1^2} = 1\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
\[AB = AH + HB \ge 2\sqrt {AH.HB} \] \[= 2\sqrt 1 = 2\]
\[\Rightarrow A{B_{\min }} = 2 \Leftrightarrow HA = HB = 1\]
\[OAB\] có OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên vuông cân: \[OA = OB\] và \[AB = 2\].
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông OAB ta có:
\[\begin{array}{l}
O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\\
\Leftrightarrow O{A^2} + O{A^2} = A{B^2}\\
\Leftrightarrow 2O{A^2} = {2^2}\\
\Leftrightarrow O{A^2} = 2\\
\Leftrightarrow OA = \sqrt 2
\end{array}\]
Mà A nằm trên tia Ox nên\[A[\sqrt 2; 0]\].
Lại có OB=OA nên \[OB = \sqrt 2 \].
Mà B nằm trên tia Oy nên\[B[0; \sqrt2]\].
Vậy \[A[\sqrt 2; 0]\] và \[B[0; \sqrt2]\].