- LG a
- LG b
LG a
a] Biết \[\sin \alpha = {1 \over 3};\,\,\alpha \in [{\pi \over 2};\,\pi ]\], hãy tính giá trị lượng giác của góc 2α và góc \[{\alpha \over 2}\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\left\{ \matrix{
\sin \alpha = {1 \over 3} \hfill \cr
{\pi \over 2} < \alpha < \pi \hfill \cr} \right. \]
\[\Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \]\[= - \sqrt {1 - {1 \over 9}} = - {{2\sqrt 2 } \over 3}\]
Khi đó:
\[\eqalign{
& \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \cr&= 2.{1 \over 3}[ - {{2\sqrt 2 } \over 3}] = - {{4\sqrt 2 } \over 9} \cr
& \cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = {7 \over 9} \cr
& \tan 2\alpha = {{\sin 2\alpha } \over {\cos 2\alpha }} = - {{4\sqrt 2 } \over 7} \cr
& \cot 2\alpha = - {{7\sqrt 2 } \over 8} \cr} \]
Ta có:
\[{\pi \over 4} < {\alpha \over 2} < {\pi \over 2} \Rightarrow \left\{ \matrix{
\cos {\alpha \over 2} > 0 \hfill \cr
\sin {\alpha \over 2} > 0 \hfill \cr} \right.\]
\[\eqalign{
& \cos \alpha = 2{\cos ^2}{\alpha \over 2} - 1 \cr&\Rightarrow \cos {\alpha \over 2} = \sqrt {{{1 + \cos \alpha } \over 2}} \cr&= \sqrt {{{3 - 2\sqrt 2 } \over 6}} \cr
& \cos \alpha = 1 - {\sin ^2}{\alpha \over 2} \cr&\Rightarrow \sin {\alpha \over 2} = \sqrt {{{1 - \cos \alpha } \over 2}} \cr&= \sqrt {{{3 + 2\sqrt 2 } \over 6}} \cr
& \tan {\alpha \over 2} = {{\sin {\alpha \over 2}} \over {\cos {\alpha \over 2}}} = 3 + 2\sqrt 2 \cr
& \cot {\alpha \over 2} = 3 - 2\sqrt 2 \cr} \]
LG b
Sử dụng \[{15^0} = {{{{30}^0}} \over 2}\], hãy kiểm nghiệm lại kết quả của bài tập 39.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& 2{\cos ^2}{15^0} = 1 + \cos {30^0} = 1 + {{\sqrt 3 } \over 2} \cr&\Rightarrow \cos {15^0} = \sqrt {{{2 + \sqrt 3 } \over 4}} \cr & = \sqrt {\frac{{4 + 2\sqrt 3 }}{8}} = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2\sqrt 2}\cr
& 2{\sin ^2}{15^0} = 1 - \cos {30^0} = 1 - {{\sqrt 3 } \over 2}\cr& \Rightarrow \sin {15^0} = \sqrt {{{2 - \sqrt 3 } \over 4}}\cr & = \sqrt {\frac{{4 - 2\sqrt 3 }}{8}} = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2\sqrt 2}\cr
& \tan {15^0} = \sqrt {{{2 - \sqrt 3 } \over {2 + \sqrt 3 }}} = 2 - \sqrt 3 \cr
& \cot {15^0} = 2 + \sqrt 3 \cr} \]