- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giải các bất phương trình sau:
LG a
\[\sqrt {{x^2} - 4x - 12} \le x - 4\]
Phương pháp giải:
Áp dụng \[\sqrt f \le g \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f \ge 0\\
g \ge 0\\
f \le {g^2}
\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - 4x - 12} \le x - 4 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 4x - 12 \ge 0 \hfill \cr
x - 4 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} - 4x - 12 \le {[x - 4]^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le - 2\\x \ge 6\end{array} \right.\\x \ge 4\\{x^2} - 4x - 12 \le {x^2} - 8x + 16\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{\left[ \matrix{x \le - 2 \hfill \cr x \ge 6 \hfill \cr} \right. \hfill \cr x \ge 4 \hfill \cr 4x \le 28 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le - 2\\x \ge 6\end{array} \right.\\x \ge 4\\x \le 7\end{array} \right.\Leftrightarrow 6 \le x \le 7\cr} \]
Vậy \[S = [6, 7]\]
LG b
\[[x - 2]\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} - 4\]
Phương pháp giải:
Chia thành các trường hợp \[x-2=0\], \[x-2>0\] và \[x-2 < 0\] để giải bpt.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[[x - 2]\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} - 4\] \[ \Leftrightarrow \left[ {x - 2} \right]\sqrt {{x^2} + 4} \le \left[ {x - 2} \right]\left[ {x + 2} \right]\]
\[\Leftrightarrow [x - 2][\sqrt {{x^2} + 4} - x - 2] \le 0\]
+ Với x = 2 ta có \[VT=0 \le 0\] nên x=2 là nghiệm của bất phương trình
+ Với x > 2, ta có:
\[\begin{array}{l}
\left[ {x - 2} \right]\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} - 4\\
\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 4} \le x + 2\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 2 \ge 0\\
{x^2} + 4 \le {\left[ {x + 2} \right]^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
{x^2} + 4 \le {x^2} + 4x + 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
4x \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
x \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x \ge 0
\end{array}\]
Kết hợp với điều kiện x > 2, ta có: x > 2.
+ Với x < 2, ta có:
\[\begin{array}{l}
\left[ {x - 2} \right]\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} - 4\\
\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 4} \ge x + 2\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 < 0\\
{x^2} + 4 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2 \ge 0\\
{x^2} + 4 \ge {\left[ {x + 2} \right]^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
{x^2} + 4 \ge {x^2} + 4x + 4
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
4x \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 2\\
x \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x < - 2\\
- 2 \le x \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le 0
\end{array}\]
Vậy \[S = [-, 0] [2, +]\]
LG c
\[\sqrt {{x^2} - 8x} \ge 2[x + 1]\]
Phương pháp giải:
Áp dụng \[\sqrt f \ge g \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
g < 0\\
f \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
f \ge {g^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Bất phương trình đã cho tương đương với:
\[[I] \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 8x \ge 0 \hfill \cr
x + 1 < 0 \hfill \cr} \right.\]
hoặc
\[[II] \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 1 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} - 8x \ge 4{[x + 1]^2} \hfill \cr} \right.\]
Ta có:
\[\eqalign{
& [I] \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr
x \ge 8 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x < - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < - 1 \cr
& [II]\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 1 \hfill \cr
3{x^2} + 16x + 4 \le 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 1 \hfill \cr
{{ - 8 - 2\sqrt {13} } \over 3} \le x \le {{ - 8 + 2\sqrt {13} } \over 3} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow - 1 \le x \le {{ - 8 + 2\sqrt {13} } \over 3} \cr} \]
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
\[S = [ - \infty , - 1] \cup {\rm{[}} - 1,\,{{2\sqrt {13} - 8} \over 3}{\rm{]}} \] \[= [ - \infty ,{{2\sqrt {13} - 8} \over 3}{\rm{]}}\]
LG d
\[\sqrt {x[x + 3]} \le 6 - {x^2} - 3x\]
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ \[t = \sqrt {x[x + 3]}\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[t = \sqrt {x[x + 3]} \,\,\,[t \ge 0]\]
x2+ 3x = t2 t2+ t - 6 0 -3 t 2
Kết hợp với điều kiện \[t \ge 0\] ta được:
0 t 2 0 x2+ 3x 4
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + 3x \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 3x - 4 \le 0 \hfill \cr} \right. \] \[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le - 3 \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
- 4 \le x \le 1 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 4 \le x \le -3 \hfill \cr
0 \le x \le 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[S = [-4, -3] [0, 1]\]