- Bài 7.4
- Bài 7.5
- Bài 7.6
Bài 7.4
Trong tam giác \[ABC,\]hai đường trung trực của hai cạnh \[AB\]và \[AC\]cắt nhau tại điểm \[D\]nằm trên cạnh \[BC.\]Chứng minh rằng:
a] \[D\] là trung điểm của cạnh \[BC.\]
b] \[\widehat A = \widehat B + \widehat C\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó
+] Tính chất tam giác cân
Lời giải chi tiết:
a] Vì \[D\] thuộc đường trung trực cạnh \[AB\] nên \[DB=DA\] [tính chất]
Vì\[D\] thuộc đường trung trực cạnh \[AC\] nên \[DC=DA\] [tính chất]
Suy ra \[DB=DC\,[=DA]\] hay \[D\] là trung điểm cạnh \[BC.\]
b] Vì \[DA=DB \] [chứng minh trên] nên tam giác \[DAB\] cân tại \[D.\] Suy ra \[\widehat B = \widehat {{A_1}}\].
Vì \[DA=DC \] [chứng minh trên] nên tam giác \[DAC\] cân tại \[D.\] Suy ra \[\widehat C = \widehat {{A_2}}\].
Do đó: \[\widehat A = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat B + \widehat C\]
Bài 7.5
Chứng minh rằng nếu trong tam giác \[ABC\]có hai cạnh \[AB\]và \[AC\]không bằng nhau thì đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \[A\]không vuông góc với \[BC.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó
Lời giải chi tiết:
Gọi \[AM\] làđường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \[A\] của tam giác \[ABC.\]
Vì \[AM\]là đường trung tuyến của tam giác \[ABC\]nên \[M\]là trung điểm của cạnh \[BC.\]
Giả sử \[AM \bot BC\]. Khi đó \[AM\]là đường trung trực của đoạn thẳng \[BC.\]Suy ra \[AB = AC.\]
Điều này mâu thuẫn với giả thiết \[AB\]không bằng \[AC.\]Vậy trung tuyến\[AM\]không vuông góc với\[BC.\]
Bài 7.6
Cho đường thẳng\[d\]và hai điểm\[A, B\]nằm về một phía của\[d\]sao cho\[AB\]không vuông góc với\[d.\]Hãy tìm trên\[d\]một điểm\[M\]sao cho \[\left| {MA - MB} \right|\]có giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
Sử dụng: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó
Lời giải chi tiết:
Ta có \[\left| {MA - MB} \right| \ge 0\]với một điểm\[M\]tùy ý và \[\left| {MA - MB} \right| = 0\] với các điểm\[M\] thỏa mãn \[MA = MB.\] Khi \[MA=MB\] thì các điểm\[M\]nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng\[AB.\]
Mặt khác\[M\]phải thuộc\[d.\]Vậy\[M\]là giao điểm của đường thẳng\[d\]và đường trung trực của đoạn thẳng\[AB\] [tồn tại giao điểm này vì\[AB\]không vuông góc với\[d.]\]
Tóm lại: Khi\[M\]là giao điểm của\[d\]và đường trung trực của đoạn thẳng\[AB\]thì \[\left| {MA - MB} \right|\]đạt giá trị nhỏ nhất là bằng\[0.\]