- LG a
- LG b
- LG c
Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng:
\[d:\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 + t \hfill \cr z = 2 - t. \hfill \cr} \right.\]
Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng
\[\left[ \alpha \right]:3y - z - 7 = 0\] và \[\left[ {\alpha '} \right]:3x + 3y - 2z - 17 = 0.\]
LG a
Chứng minh d, d chéo nhau và vuông góc với nhau.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d' là giao tuyến của hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n \] = [0 ; 3 ; -1] và \[\overrightarrow {n'} \] = [3 ; 3 ; -2] nên d' có một vectơ chỉ phương là :
\[\overrightarrow {{u_{d'}}} = - {1 \over 3}\left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left[ {1;1;3} \right].\]
Vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_d}} \] của d là \[\overrightarrow {{u_d}} \] = [2 ; 1 ; -1].
Vì \[\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\] nên \[d \bot d'.\]
Ta dễ chứng minh d và d' không có điểm chung [hệ phương trình lập ra từ phương trình hai đường thẳng này vô nghiệm]. Vậy chúng chéo nhau.
LG b
Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua d và vuông góc với d . Tìm tọa độ giao điểm H của d và [P].
Lời giải chi tiết:
Ta lấy một điểm A nào đó thuộc \[d'\]. Chẳng hạn cho y = 0 thì z = -7, x = 1, ta có \[A\left[ {1{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }} - 7} \right] \in d'.\]. Vì d\[ \bot \] d' nên mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d sẽ đi qua \[d'\]. Vậy phương trình mặt phẳng [P] là :
\[ 2[x - 1] + [y - 0] - [z + 7] = 0\]
\[ \Leftrightarrow 2x + y- z- 9 = 0.\]
Toạ độ giao điểm H[x ; y ; z] của d và [P] thoả mãn hệ
\[\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 + t \hfill \cr z = 2{\rm{ - }}t \hfill \cr 2x + y - z - 9 = 0 \hfill \cr} \right. \]
\[\Rightarrow t = {5 \over 3} \Rightarrow H = \left[ {{{13} \over 3};{2 \over 3};{1 \over 3}} \right].\]
LG c
Một mặt phẳng [Q] thay đổi, luôn song song với mặt phẳng [Oxy], cắt d, d lần lượt tại M, M. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MM.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng [Q] song song với mp[Oxy] nên có phương trình
z = m [m\[ \ne \]0].
Toạ độ giao điểm M[x ; ỵ ; z] của d và [Q] thoả mãn hệ
\[\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 + t \hfill \cr z = 2 - t \hfill \cr z = m \hfill \cr} \right. \Rightarrow M = \left[ {5 - 2m;1 - m;m} \right].\]
Toạ độ giao điểm \[M'\][x ; ỵ ; z] của \[d'\] và [Q] thoả mãn hệ
\[\left\{ \matrix{ 3y - z - 7 = 0 \hfill \cr 3x + 3y - 2z - 17 = 0 \hfill \cr z = m \hfill \cr} \right. \]
\[\Rightarrow M' = \left[ {{{10 + m} \over 3};{{7 + m} \over 3};m} \right].\]
Gọi I là trung điểm của \[MM'\] thì \[I = \left[ {{{25 - 5m} \over 6};{{5 - m} \over 3};m} \right].\]
Vậy quỹ tích của I là đường thẳng có phương trình tham số
\[\left\{ \matrix{ x = {{25 -5 m} \over 6} \hfill \cr x = {{5 - m} \over 3} \hfill \cr z = m \hfill \cr} \right.;\]
bỏ đi điểm \[\left[ {{{25} \over 6};{5 \over 3};0} \right]\] [ứng với m = 0].