- LG a
- LG b
LG a
Cho hai tam giác \[ABC\] và \[DBC.\] Kẻ đường cao \[AH\] của tam giác \[ABC.\] Kẻ đường cao \[DK\] của tam giác \[DBC.\] Gọi \[S\] là diện tích của tam giác \[ABC.\] Gọi \[S\] là diện tích của tam giác \[DBC.\]
Chứng minh rằng \[\dfrac{S}{S'}=\dfrac{DK}{AH}\]
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác: \[S=\dfrac{1}{2}ah\] với \[a;h\] lần lượt là độ dài cạnh đáy và chiều cao tương ứng.
Lời giải chi tiết:
Ta thấy: \[ ABC\] và \[ DBC\] có chung canh đáy \[BC\] nên ta có:
\[\eqalign{ & {S_{ABC}} = {1 \over 2}AH.BC = S \cr & {S_{DBC}} = {1 \over 2}DK.BC = S' \cr} \]
Suy ra: \[\dfrac{{S'}}{S} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}DK.BC}}{{\dfrac{1}{2}AH.BC}}=\dfrac{DK}{AH}\]
LG b
Cho tam giác \[ABC\] và điểm \[M\] bất kì nằm trong tam giác đó. Kẻ các đường cao của tam giác đó là \[AD,\, BE\] và \[CF.\] Đường thẳng đi qua điểm \[M\] và song song với \[AD\] cắt cạnh \[BC\] tại điểm \[H.\] Đường thẳng đi qua điểm \[M\] và song song với \[BE\] cắt cạnh \[AC\] tại điểm \[K.\] Đường thẳng đi qua điểm \[M\] và song song với \[CF\] cắt cạnh \[BA\] tại điểm \[T.\]
Chứng minh rằng \[\dfrac{{MH}}{{AD}} + \dfrac{{MK}}{{BE}} + \dfrac{{MT}}{{CF}} = 1\]
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác: \[S=\dfrac{1}{2}ah\] với \[a;h\] lần lượt là độ dài cạnh đáy và chiều cao tương ứng.
Lời giải chi tiết:
Gọi diện tích các hình tam giác \[ABC,\, MAB,\, MAC, \,MBC\] lần lượt là \[S,\,S_1,\,S_2,\,S_3.\] Ta có:
\[S=S_1+S_2+S_3\]
Trong đó: \[S=\dfrac{1}{2}AD.BC=\dfrac{1}{2}BE.AC\\=\dfrac{1}{2}CF.AB\]
\[\begin{array}{l}
{S_1} = \dfrac{1}{2}MT.AB\\
{S_2} = \dfrac{1}{2}MK.AC\\
{S_3} = \dfrac{1}{2}MH.BC
\end{array}\]
Từ đó, ta có:
\[\begin{array}{l}\dfrac{{{S_1}}}{S} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}MT.AB}}{{\dfrac{1}{2}CF.AB}} = \dfrac{{MT}}{{CF}}\\\dfrac{{{S_2}}}{S} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}MK.AC}}{{\dfrac{1}{2}BE.AC}} = \dfrac{{MK}}{{BE}}\\\dfrac{{{S_3}}}{S} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}MH.BC}}{{\dfrac{1}{2}AD.BC}} = \dfrac{{MH}}{{AD}}\\ \Rightarrow \dfrac{{MH}}{{AD}} + \dfrac{{MK}}{{BE}} + \dfrac{{MT}}{{CF}} \\= \dfrac{{{S_3}}}{S} + \dfrac{{{S_2}}}{S} + \dfrac{{{S_1}}}{S}\\ = \dfrac{{{S_3} + {S_2} + {S_1}}}{S} = \dfrac{S}{S} = 1\end{array}\]