Đề bài
Cho tam giác cân \[ABC\], \[AB = AC = 10cm\], \[BC = 16cm\]. Trên đường cao \[AH\] lấy điểm \[I\] sao cho \[AI = \displaystyle {1 \over 3}AH.\] Vẽ tia \[Cx\] song song với \[AH\], \[Cx\] cắt tia \[BI\] tại \[D\].
a]Tính các góc của tam giác \[ABC\].
b]Tính diện tích tứ giác \[ABCD\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông.
b] Áp dụng định lí Py-ta-go và kiến thức về đường trung bình của tam giác.
Lời giải chi tiết
a] Vì tam giác ABC cân tại A có \[AH \bot BC\] nên AH cũng là đường trung tuyến, suy ra: \[HB = HC =\displaystyle {{BC} \over 2} = 8\,[cm]\]
Trong tam giác vuông \[ABH\], ta có:
\[\cos \widehat B = \displaystyle{{HB} \over {AB}} = {8 \over {10}} = 0,8\]
Suy ra: \[\widehat B \approx 36^\circ 52'\]
Vì \[ABC\] cân nên \[\widehat B = \widehat C = 36^\circ 52'\]
Ta có:\[\widehat A + \widehat B + \widehat C= 180^\circ \] [tổng 3 góc trong tam giác ABC]
\[\widehat A = 180^\circ - [\widehat B + \widehat C] \]\[= 180^\circ - [36^\circ 52' + 36^\circ 52'] = 106^\circ 16'\]
b]Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có:
\[\eqalign{
A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} \cr
\Rightarrow A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\cr = {10^2} - {8^2} = 36 \cr} \]
Suy ra: \[AH = 6 [cm]\]
Ta có: \[AI = \displaystyle {1 \over 3}.AH = {1 \over 3}.6 = 2\,[cm]\]
Suy ra: \[IH = AH - AI = 6 - 2 = 4 [cm]\]
Vì \[IH \bot BC\] và \[DC \bot BC\] nên \[IH // DC\] [1]
Mặt khác: \[BH = HC\] [cmt] [2]
Từ [1] và [2] ta có \[IH\] là đường trung bình của tam giác \[BCD\].
Suy ra: \[IH =\displaystyle {1 \over 2}CD\] hay \[CD = 2.IH\]\[ = 2.4 = 8 [cm]\]
Ta có:
\[{S_{ABH}} = \displaystyle {1 \over 2}AH.BH = {1 \over 2}.6.8\]\[ = 24\,\,\left[ {c{m^2}} \right]\]
Vì \[AH//DC\] nên AHCD là hình thang và \[AH\bot HC\] nên HC là chiều cao của hình thang AHCD. Từ đó:
\[{S_{AHCD}} = \displaystyle {{AH + CD} \over 2}.HC = {{6 + 8} \over 2}.8\]\[ = 56\,\left[ {c{m^2}} \right]\]
Vậy \[{S_{ABCD}} = S{ _{ABH}} + {S_{AHCD}} = 24 + 56\]\[ = 80\,\][cm2]