- LG a
- LG b
Chứng minh rằng:
LG a
\[{{\sin \alpha - \sin \beta } \over {\cos \alpha - \cos \beta }} = - \sqrt 3 \]nếu
\[\left\{ \matrix{
\alpha + \beta = {\pi \over 3} \hfill \cr
\cos \alpha \ne \cos \beta \hfill \cr} \right.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức:
\[\begin{array}{l}
\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}\\
\cos \alpha - \cos \beta = - 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}\sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}
\end{array}\]
Lời giải chi tiết:
\[\eqalign{
& {{\sin \alpha - \sin \beta } \over {\cos \alpha - \cos \beta }} \cr&= {{2\cos {{\alpha + \beta } \over 2}\sin {{\alpha - \beta } \over 2}} \over { - 2\sin {{\alpha + \beta } \over 2}\sin {{\alpha - \beta } \over 2}}} \cr
& = \frac{{\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2}}}{{\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2}}}= - \cot {{\alpha + \beta } \over 2} \cr&= - \cot \frac{{\frac{\pi }{3}}}{2} = - \cot \frac{\pi }{6} = - \sqrt 3 \cr} \]
[Do \[\alpha + \beta = {\pi \over 3}\]]
LG b
\[{{\cos \alpha - \cos 7\alpha } \over {\sin 7\alpha - sin\alpha }} = \tan 4\alpha \][khi các biểu thức có nghĩa]
Lời giải chi tiết:
\[{{\cos \alpha - \cos 7\alpha } \over {\sin 7\alpha - sin\alpha }}\]
\[ = \frac{{ - 2\sin \frac{{\alpha + 7\alpha }}{2}\sin \frac{{\alpha - 7\alpha }}{2}}}{{2\cos \frac{{7\alpha + \alpha }}{2}\sin \frac{{7\alpha - \alpha }}{2}}} \]
\[= \frac{{ - 2\sin 4\alpha \sin \left[ { - 3\alpha } \right]}}{{2\cos 4\alpha \sin 3\alpha }}\]
\[ = {{2\sin 4\alpha \sin 3\alpha } \over {2\cos 4\alpha \sin 3\alpha }}\]
\[= \frac{{\sin 4\alpha }}{{\cos 4\alpha }}= \tan 4\alpha \]