Đề bài
Cho tam giác \[ABC\]. Gọi \[M, N , P\] là những điểm được xác định như sau:\[\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NA} ,\]\[\overrightarrow {PA} = 3\overrightarrow {PB} \]
a] Chứng minh \[2\overrightarrow {OM} = 3\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \] với mọi điểm \[O\].
b] Chứng minh hai tam giác \[ABC\] và \[MNP\] có cùng trọng tâm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Xen điểm \[M\] vào các véc tơ trong đẳng thức và chứng minh.
b] Chứng minh nếu \[G\] là trọng tâm của \[\Delta ABC\] thì nó cũng là trọng tâm của \[\Delta MNP\].
Cụ thể, chứng minh \[\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0 \].
Lời giải chi tiết
a] Ta có: \[3\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} \]\[ = 3[\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} ] - [\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} ]\]
\[\begin{array}{l}
= 3\overrightarrow {OM} + 3\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {MB} \\
= \left[ {3\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OM} } \right] + \left[ {3\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} } \right]\\
= 2\overrightarrow {OM} + \left[ {\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MB} } \right]\\
= 2\overrightarrow {OM} + \overrightarrow 0 \\
= 2\overrightarrow {OM}
\end{array}\]
b] Gọi \[S, Q\] và \[R\] lần lượt là trung điểm của \[BC, CA\] và \[AB\].
\[\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \Rightarrow \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {SC} \]; \[\overrightarrow {NC} = 3\overrightarrow {NA} \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {CQ} \]
\[\overrightarrow {PA} = 3\overrightarrow {PB} \Rightarrow \overrightarrow {BP} = \overrightarrow {RB} = \overrightarrow {QS} \]
Gọi \[G\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\] thì \[\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]
Ta có:
\[\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} \]\[ = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BP} \] \[= \left[ {\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right] + \left[ {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {BP} } \right]\]
\[ = \left[ {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right] + \left[ {\overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CQ} + \overrightarrow {QS} } \right]\]\[ = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \]
Vậy \[G\] là trọng tâm của tam giác \[MNP\].