Đề bài
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
[A] Cho hai đường thẳng \[a\] và \[b\] trong không gian có các vecto chỉ phương lần lượt là \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v \]. Điều kiện cần và đủ để \[a\] và \[b\] chéo nhau là \[a\] và \[b\] không có điểm chung và hai vecto \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v \]không cùng phương.
[B] Gọi \[a\] và \[b\] là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Đường thẳng vuông góc chung của \[a\] và \[b\] nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.
[C] Không thể có một hình chóp tứ giác \[S.ABCD\] nào có hai mặt bên \[[SAB]\] và \[[SCD]\] cùng vuông góc với mặt phẳng đáy.
[D] Gọi \[{\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \]là cặp vecto chỉ phương của hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng \[[α]\] và \[\overrightarrow n \] là vecto chỉ phương của đường thẳng \[Δ\]. Điều kiện cần và đủ để \[Δ [α]\] là: \[\left\{ \matrix{\overrightarrow {n.} \overrightarrow u = 0 \hfill \cr\overrightarrow {n.} \overrightarrow v = 0 \hfill \cr} \right.\]
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
[A] Từ giả thiết \[a\] và \[b\] không có điểm chung và các vecto \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v \]của chúng không cùng phương, ta suy ra hai đường thẳng \[a, b\] không đồng phẳng vì chúng không trùng nhau, không cắt nhau, không song song với nhau. Vậy \[a\] và \[b\] chéo nhau. Ngược lại nếu \[a\] và \[b\] chéo nhau thì rõ ràng \[a\] và \[b\] không có điểm chung và \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v \]không cùng phương.
Mệnh đề [A] đúng.
[B] \[a\] và \[b\] có đường vuông góc chung là \[c\], \[a b\].
Ta có: \[\left. \matrix{a \bot b \hfill \cr a \bot c \hfill \cr} \right\} \Rightarrow a \bot [b,c]\]
Tương tự ta có: \[b [a, c]\]
Mệnh đề [B] đúng.
[C] Xét trường hợp \[AB\] và \[CD\] cắt nhau tại một điểm \[H\].
Ta lấy \[S\] trên đường thẳng vuông góc với \[mp[ABCD]\] kẻ từ \[H\] thì rõ ràng \[[SAB] [ABCD]\] và \[[SCD] [ABCD]\]
Vậy [C] sai.
[D] Đúng. \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n .\overrightarrow u = 0\\\overrightarrow n .\overrightarrow v = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n \bot \overrightarrow u \\\overrightarrow n \bot \overrightarrow v \end{array} \right. \Rightarrow \Delta \bot \left[ \alpha \right]\]
Chọn đáp án C.