Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Cho hai dãy số \[[u_n]\], \[[v_n]\] với
\[{u_n} = {n \over {{n^2} + 1}}\] và \[{v_n} = {{n\cos {\pi \over n}} \over {{n^2} + 1}}\]
LG a
Tính \[\lim u_n\]
Phương pháp giải:
Tính\[\lim {u_n}\]: Chia cả tử và mẫu cho \[n^2\].
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\lim {u_n} = \lim {n \over {{n^2} + 1}} = \lim {{{n^2}[{1 \over n}]} \over {{n^2}[1 + {1 \over {{n^2}}}]}} \] \[= \lim {{{1 \over n}} \over {1 + {1 \over {{n^2}}}}} = {0 \over 1} = 0\]
LG b
Chứng minh rằng \[\lim v_n= 0\]
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn 0.
Lời giải chi tiết:
Theo câu a, do \[\lim {u_n} = 0\] nên với \[\forall \varepsilon > 0,\exists {n_0} \in \mathbb{N}\] sao cho với mọi \[n \ge {n_0}\] ta có \[\left| {{u_n}} \right| \le \varepsilon \] hay \[\left| {\dfrac{n}{{{n^2} + 1}}} \right| \le \varepsilon \].
Khi đó \[\left| {{v_n} - 0} \right| = \left| {\dfrac{{n\cos \dfrac{\pi }{n}}}{{{n^2} + 1}}} \right|\] \[= \left| {\dfrac{n}{{{n^2} + 1}}} \right|.\left| {\cos \dfrac{\pi }{n}} \right|\] \[ \le \left| {\dfrac{n}{{{n^2} + 1}}} \right| \le \varepsilon \] hay \[\lim {v_n} = 0\] [đpcm].