Đề bài
Cho hình chữ nhật ABCD có trung điểm các cạnh lần lượt là M, N, P, Q.
a] Chứng minh rằng MNPQ là một hình thoi.
b] Cho biết diện tích hình chữ nhật ABCD lả 20cm2. Tính diện tích hình thoi MNPQ.
Lời giải chi tiết
a] M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC [gt]
\[ \Rightarrow MN\] là đường trung bình của tam giác ABC
\[ \Rightarrow MN//AC\] và \[MN = {{AC} \over 2}\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
Q, P lần lượt là trung điểm của AD và CD [gt]
\[ \Rightarrow QP\] là đường trung bình của tam giác ACD
\[ \Rightarrow QP//AC\] và \[QP = {{AC} \over 2}\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow MN//QP\] và \[MN = QP\].
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Q, M lần lượt là trung điểm của AB và AB [gt]
\[ \Rightarrow QM\] là đường trung bình của tam giác ABD
\[ \Rightarrow QM = {{BD} \over 2}\]
Mà \[MN = {{AC} \over 2}\] và \[BD = AC\] [ABCD là hình chữ nhật] nên \[QM = MN\]
Hình bình hành MNPQ có \[QM = MN\] nên là hình thoi.
b] Tứ giác AMPD có AM // DP và \[AM = PD\,\,\left[ { = {{AB} \over 2}} \right] \Rightarrow \] Tứ giác AMPD là hình bình hành \[ \Rightarrow MP = AD\].
Tứ giác ABNQ có AQ // BN và \[AQ = BN\,\,\left[ { = {{AD} \over 2}} \right] \Rightarrow \] Tứ giác ABNQ là hình bình hành \[ \Rightarrow AB = QN\]
Tứ giác MNPQ là hình thoi.
Do đó \[{S_{MNPQ}} = {1 \over 2}MP.QN = {1 \over 2}AD.AB\]\[\, = {1 \over 2}{S_{ABCD}} = 10\,\,\left[ {c{m^2}} \right]\]