Đề bài
Trong phương trình [1] hãy giải thích vì sao ta luôn đặt được \[b^2=a^2-c^2\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tìm tọa độ \[B_2\].
- Sử dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác kết hợp điều kiện điểm thuộc elip để suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải chi tiết
Do \[F_1[-c;0],F_2[c;0]\] nên \[OF_1=OF_2=c\]
\[B_1[0;-b],B_2[0;b]\]
\[ \Rightarrow {B_2}{F_1} = {B_2}{F_2} = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \]
Do \[B_2\]thuộc elip nên:
\[\eqalign{
& {B_2}{F_1} + {B_2}{F_2} = 2a \Rightarrow 2\sqrt {{b^2} + {c^2}} = 2a \cr
& \Rightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2} \Leftrightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} \cr} \]
Cách khác:
Do \[F_1[-c;0],F_2[c;0]\] nên \[{F_1}{F_2} = 2c\].
Xét tam giác \[MF_1F_2\] có:
\[M{F_1} + M{F_2} > {F_1}{F_2}\] \[ \Rightarrow 2a > 2c \] \[\Leftrightarrow a > c \] \[\Rightarrow {a^2} - {c^2} > 0\]
Do đó có thể đặt \[{b^2} = {a^2} - {c^2}\].